《2025年新课程学习指导八年级数学上册华师大版》

20. (26 分)求值题。
(1)(5 分)已知$a - b = 5$,$(a + b)^{2} = 49$,求$a^{2} + b^{2}$的值。
(2)(5 分)若$a(a - 2) - (a^{2} - 2b) = -4$。求$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} - ab$的值。
(3)(5 分)关于$x的整式(x^{2} + ax + b)(2x^{2} - 3x - 1)$的展开式中,$x^{3}项的系数是-5$,$x^{2}项的系数是-6$,求$a$,$b$的值。
(4)(5 分)若$\sqrt{a + 3} + (b - \frac{1}{2})^{2} = 0$,求代数式$2b^{2} + (a + b)(a - b) - (a - b)^{2}$的值。
(5)(6 分)已知$5 + \sqrt{7}的小数部分是a$,整数部分是$m$；$5 - \sqrt{7}的小数部分是b$,整数部分是$n$。求$(a + b)^{200} - mn$的值。

答案：
(1)提示:由$a - b = 5$可得$a^{2} - 2ab + b^{2} = 25$.与$(a + b)^{2} = 49$相加,得$a^{2} + b^{2} = 37.$
(2)提示:原等式化简整理可得$a - b = 2$,$\therefore a^{2} - 2ab + b^{2} = 4$；
∴原式=2.
(3)提示:原式$=2x^{4} + (2a - 3)x^{3} +$$(2b - 3a - 1)x^{2} + (-a - 3b)x - b;$从而得$2a - 3 = -5$,$2b - 3a - 1 = -6$.解得$a = -1$,$b = -4.$
(4)解:原式$=2b^{2} + a^{2} - b^{2} - a^{2} + 2ab - b^{2} = 2ab$,由$\sqrt {a + 3} + (b - \frac {1}{2})^{2} = 0$得$a = -3$,$b = \frac {1}{2}$.当$a = -3$,$b = \frac {1}{2}$时,原式$=2×(-3)×\frac {1}{2} = -3.$
(5)提示:由$2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3$可得$a = \sqrt{7} - 2$,$m = 7$,$b = 3 - \sqrt{7}$,$n = 2$.原式$=(\sqrt{7} - 2 + 3 - \sqrt{7})^{200} - 2×7 = -13.$