《2025年新课程学习指导八年级数学上册华师大版》

1. 有两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等吗？
在$\triangle ABC和\triangle DEF$中,已知$AB = DE$,$BC = EF$,$\angle A = \angle D$。
同学甲依题意画出如图$3 - 2 - 1$的示意图,他肯定地回答$\triangle ABC与\triangle DEF$不一定全等。

同学乙根据题意画出如图$3 - 2 - 2$的示意图,他肯定地回答$\triangle ABC \cong \triangle DEF$。

你能说明其中的原因吗？请你试一试。

答案：
同学甲作的图中，∠A 和∠D 都是锐角，结合图形知△ABC 与△DEF 不一定全等.
同学乙作的图中，∠A 和∠D 都是钝角，△ABC≌△DEF. 理由如下：

分别过点 B,E 作直线 AC,DF 的垂线，垂足分别为点 M,N.
由∠BAC=∠EDF 可得∠BAM=∠EDN.
依据 AAS 判定△ABM≌△DEN.
进而依据 HL 可判定△BCM≌△EFN，
由此可得 AC=DF，
所以依据 SSS 可判定△ABC≌△DEF.

2. 有两边及其中一边上的高分别相等的两个三角形全等吗？
在$\triangle ABC和\triangle A'B'C'$中,已知$AB = A'B'$,$BC = B'C'$,$CD \perp AB于点D$,$C'D' \perp A'B'于点D'$。
同学甲和同学乙共同分析后,根据题意作出了图$3 - 2 - 3$中的两个图形。
由图$3 - 2 - 3$可知,$\triangle ABC与\triangle A'B'C'$不一定全等。若添加一个条件能使$\triangle ABC与\triangle A'B'C'$全等吗？请你试一试。

思考：有两边及第三边上的高分别相等的两个三角形全等吗？

答案： 如，∠ABC 和∠A′B′C′都是锐角或钝角等.
在△ABC 和△AB′C 中，BC=B′C，CD⊥AB，垂足为点 D，显然△ABC 与△AB′C 不全等.

3. 如图$3 - 2 - 5$,在等腰$\triangle ABC$中,$AB = AC$,中线$BD将三角形的周长分成12和15$两部分。求$AB和BC$的长。小明的解法如下：
$\because AD = CD$,
$\therefore BC - AB = 15 - 12 = 3$。
$\therefore AB + AC + BC = 15 + 12 = 27$,
即$3AB + 3 = 27$。
$\therefore AB = 8$,$BC = AB + 3 = 11$。
请你对小明以上解法的错误给予纠正。

答案： 小明的解答缺少一种情况：
当 AB - BC = 3 时，AB + AC + BC = 27.
即 3AB - 3 = 27.
∴AB = 10，BC = 7.