《2025年新课程学习指导八年级数学上册华师大版》

例3 实数$a$,$b$,$c$在数轴上表示的点的位置如图1 - 1 - 1。

(1)求$(a - b)^{2}$,$(a - c)^{2}$,$c^{2}$的算术平方根。
(2)根据(1)中结论化简$\sqrt{(a - b)^{2}}+\sqrt{(a - c)^{2}}-\sqrt{c^{2}}$。
解：(1)由实数$a$,$b$,$c$在数轴上表示的点的位置,知$a\lt0$,$b\gt0$,$c\lt0$,且$c\lt a$。
$\therefore a - b\lt0$,$a - c\gt0$。
$\because |a - b|是(a - b)^{2}$的算术平方根,$\therefore \sqrt{(a - b)^{2}} = |a - b| = -(a - b) = -a + b$。
$\because |a - c|是(a - c)^{2}$的算术平方根,$\therefore \sqrt{(a - c)^{2}} = |a - c| = a - c$。
$\because |c|是c^{2}$的算术平方根,$\therefore \sqrt{c^{2}} = |c| = -c$。
(2)$\sqrt{(a - b)^{2}}+\sqrt{(a - c)^{2}}-\sqrt{c^{2}} = |a - b| + |a - c| - |c|$
$=-(a - b)+(a - c)-(-c) = -a + b + a - c + c = b$。
评析：① 数形结合是研究数学问题的重要方法,数轴是数形结合的重要工具,数可以用数轴上的点表示出来,同时还可以利用数轴来比较两个数的大小；② 进行数的开方运算时,要注意算术平方根为非负数；③ 在进行绝对值化简时,脱去绝对值符号要注意保持数的非负性。

答案：
(1)
根据数轴上点的位置可知 $c \lt a \lt 0 \lt b$。
因为 $a - b\lt0$，所以 $\sqrt{(a - b)^{2}}=\vert a - b\vert=-(a - b)=b - a$；
因为 $a - c\gt0$，所以 $\sqrt{(a - c)^{2}}=\vert a - c\vert=a - c$；
因为 $c\lt0$，所以 $\sqrt{c^{2}}=\vert c\vert=-c$。
(2)
$\sqrt{(a - b)^{2}}+\sqrt{(a - c)^{2}}-\sqrt{c^{2}}=\vert a - b\vert+\vert a - c\vert-\vert c\vert$
$=-(a - b)+(a - c)-(-c)$
$=-a + b + a - c + c$
$=b$

例4 已知$a$,$b$是实数,且$x = \sqrt{2a + 1}是6 - b$的算术平方根,$y = \sqrt[2a + 2b - 4]{b - 3}$是一个数的立方根,求$x - y$的平方根。
分析：由平方根的意义知$2a + 1\geq0$,所以$\sqrt{2a + 1}是2a + 1$的算术平方根,由于$\sqrt{2a + 1}也是6 - b$的算术平方根,由此可得$2a + 1 = 6 - b$；
由于$\sqrt[2a + 2b - 4]{b - 3}$是一个数的立方根,因此其根指数是$2a + 2b - 4 = 3$。
将两个等式联立,得$\begin{cases}2a + 1 = 6 - b,\\2a + 2b - 4 = 3.\end{cases} $ 解这个方程组,得$\begin{cases}a = \dfrac{3}{2},\\b = 2.\end{cases} $
于是可求出$x = 2$,$y = -1$,即$x - y = 3$,所以$x - y的平方根是\pm\sqrt{3}$。

答案： 由题意得：
1. $\sqrt{2a+1}$是$6 - b$的算术平方根，故$2a + 1 = 6 - b$；
2. $\sqrt[2a + 2b - 4]{b - 3}$是立方根，故根指数$2a + 2b - 4 = 3$。
联立方程组：
$\begin{cases}2a + 1 = 6 - b\\2a + 2b - 4 = 3\end{cases}$
解方程组：
由第一个方程得$2a + b = 5$，第二个方程得$2a + 2b = 7$。
两式相减：$(2a + 2b)-(2a + b)=7 - 5$，解得$b = 2$。
将$b = 2$代入$2a + b = 5$，得$2a + 2 = 5$，解得$a=\frac{3}{2}$。
求$x,y$：
$x=\sqrt{2a + 1}=\sqrt{2×\frac{3}{2}+1}=\sqrt{4}=2$；
$y=\sqrt[3]{b - 3}=\sqrt[3]{2 - 3}=\sqrt[3]{-1}=-1$。
$x - y=2 - (-1)=3$，$3$的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
$\pm\sqrt{3}$

例5 已知圆柱的高为$11cm$,底面积是$78.5cm^{2}$,当圆柱的底面半径扩大到原来的$2$倍时,求圆柱的体积。($\pi取3.14$)
解：设圆柱原来的底面半径为$r cm$。依题意,得$\pi r^{2} = 78.5$,即$r^{2} = 25$。
由此可知,$r是25$的平方根,所以$r的值是5或-5$。
由于圆的半径为正值,所以取$r = 5$,舍去$r = -5$。
$\therefore V = \pi\cdot(2r)^{2}\cdot h = 3.14×10^{2}×11 = 3454(cm^{3})$。
答：底面积扩大后的圆柱体积约是$3454cm^{3}$。
评析：① 在解决有关实际问题时,所求结果既要满足题意又必须符合实际要求；② 要注意题目中的附加条件。

答案： 答题卡：
解：设圆柱原来的底面半径为 $rcm$。
依题意，得 $\pi r^{2} = 78.5$，
即 $r^{2} = \frac{78.5}{3.14} = 25$，
由此可知，$r$ 是 25 的平方根，
所以 $r$ 的值是 $5$ 或 $-5$，
由于圆的半径为正值，
所以取 $r = 5$，舍去 $r = -5$，
当圆柱的底面半径扩大到原来的 2 倍时，新的底面半径为 $2r = 10cm$，
此时圆柱的体积 $V$ 为：
$V = \pi \cdot (2r)^{2} \cdot h = 3.14 × 10^{2} × 11 = 3454 (cm^3)$
答：圆柱的体积为 $3454cm^3$。