《2025年新课程学习指导八年级数学上册华师大版》

13. (德州)问题背景：
(1)如图 3-3-15,在四边形 $ ABCD $ 中,$ AB = AD $,$ \angle BAD = 120° $,$ \angle B = \angle ADC = 90° $。$ E $,$ F $ 分别是 $ BC $,$ CD $ 上的点。且 $ \angle EAF = 60° $。探究图中线段 $ BE $,$ EF $,$ FD $ 之间的数量关系。
小王同学探究此问题的方法是,延长 $ FD $ 到点 $ G $。使 $ DG = BE $。连结 $ AG $,先证明 $ \triangle ABE \cong \triangle ADG $,再证明 $ \triangle AEF \cong \triangle AGF $,从而可得出结论。
他得出的结论是EF=BE+DF。

探索延伸：
(2)如图 3-3-16,若在四边形 $ ABCD $ 中,$ AB = AD $,$ \angle B + \angle D = 180° $。$ E $,$ F $ 分别是 $ BC $,$ CD $ 上的点,且 $ \angle EAF = \frac{1}{2}\angle BAD $,上述结论是否仍然成立？请说明理由。

实际应用：
(3)如图 3-3-17,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心($ O $ 处)北偏西 $ 30° $ 的 $ A $ 处,舰艇乙在指挥中心南偏东 $ 70° $ 的 $ B $ 处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以 $ 120 km/h $ 的速度前进,舰艇乙沿北偏东 $ 50° $ 的方向以 $ 160 km/h $ 的速度前进。$ 1.5 h $ 后,指挥中心观测到甲、乙两艘舰艇分别到达 $ E $,$ F $ 处,且两艘舰艇之间的夹角为 $ 70° $,试求此时两艘舰艇之间的距离。

(2)上述结论仍然成立。理由如下：延长FD到点G，使DG=BE，连结AG。因为∠B+∠D=180°，∠ADG+∠D=180°，所以∠B=∠ADG。在△ABE和△ADG中，AB=AD，∠B=∠ADG，BE=DG，所以△ABE≌△ADG(SAS)，则AE=AG，∠BAE=∠DAG。因为∠EAF=1/2∠BAD，所以∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF。在△AEF和△AGF中，AE=AG，∠EAF=∠GAF，AF=AF，所以△AEF≌△AGF(SAS)，所以EF=GF。又因为GF=DG+DF=BE+DF，所以EF=BE+DF。
(3)此时两艘舰艇之间的距离是420km。

答案： 1. （1）
因为$\triangle ABE\cong\triangle ADG$，所以$AE = AG$，$\angle BAE=\angle DAG$。
又因为$\angle BAD = 120^{\circ}$，$\angle EAF = 60^{\circ}$，所以$\angle BAE+\angle FAD=\angle BAD-\angle EAF = 60^{\circ}$。
则$\angle DAG+\angle FAD = 60^{\circ}$，即$\angle GAF=\angle EAF = 60^{\circ}$。
又$AF = AF$，所以$\triangle AEF\cong\triangle AGF(SAS)$，所以$EF = GF$。
而$GF=DG + FD$，$DG = BE$，所以$EF=BE + FD$。
2. （2）
结论仍然成立，即$EF = BE+FD$。
理由：延长$FD$到点$G$，使$DG = BE$，连接$AG$。
因为$\angle B+\angle ADC = 180^{\circ}$，$\angle ADC+\angle ADG = 180^{\circ}$，所以$\angle B=\angle ADG$。
又$AB = AD$，所以$\triangle ABE\cong\triangle ADG(SAS)$，则$AE = AG$，$\angle BAE=\angle DAG$。
因为$\angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD$，所以$\angle BAE+\angle FAD=\angle BAD-\angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD$。
即$\angle DAG+\angle FAD=\frac{1}{2}\angle BAD$，所以$\angle GAF=\angle EAF$。
又$AF = AF$，所以$\triangle AEF\cong\triangle AGF(SAS)$，所以$EF = GF$。
而$GF = DG+FD$，$DG = BE$，所以$EF = BE + FD$。
3. （3）
解：由题意可知：$OA = OB$，$AE = 120×1.5 = 180(km)$，$BF = 160×1.5 = 240(km)$。
因为$\angle AOB = 30^{\circ}+90^{\circ}+(90^{\circ}-70^{\circ}) = 140^{\circ}$，$\angle EAF = 70^{\circ}$，所以$\angle EAF=\frac{1}{2}\angle AOB$。
又因为$\angle OAE+\angle OBF=(90^{\circ}-30^{\circ})+(70^{\circ}+50^{\circ}) = 180^{\circ}$。
所以根据（2）的结论$EF = AE + BF$。
则$EF=180 + 240=420(km)$。
综上，（1）的结论是$EF = BE + FD$；（3）两艘舰艇之间的距离是$420km$。