《2025年新课程学习指导八年级数学上册华师大版》

16. (8 分)如图 6 - 4 - 6,在 $\triangle ABC$ 中,$D$ 是 $BC$ 边上的一点,已知 $AB = 13$,$AD = 12$,$AC = 15$,$BD = 5$,求 $\triangle ABC$ 的面积。

答案： 16.提示:先判定$\triangle ABD$为直角三角形，再由勾股定理求得$CD=9$,$BC=14$,$\therefore S_{\triangle ABC}=84$.

17. (8 分)如图 6 - 4 - 7,有一条小路穿过长方形草地 $ABCD$,$AB = 60m$,$BC = 84m$,$AE = 100m$,这条小路的道牙 $CF // AE$,求这条小路的面积。

答案： 17.提示:先求$BE=80m$,从而$CE=4m$,$\therefore S_{四边形AECF}=240m^{2}$.

18. (8 分)已知 $P$ 是等腰 $\triangle ABC$ 的底边 $BC$ 上一点。求证：$AB^{2} - AP^{2} = PB \cdot PC$。

答案：
18.证明:如图，作$AD\perp$ BC,垂足为点D.
可得$BD=CD$.由勾股定理,得
$AB^{2}-AP^{2}=(AD^{2}+BD^{2})-(AD^{2}+PD^{2})$
$=BD^{2}-PD^{2}=(BD - PD)(BD + PD)$
$=PB\cdot PC$.

19. (8 分)某园艺公司有一块直角三角形花圃如图 6 - 4 - 8 所示,测得这个花圃的两条直角边长分别为 $6m$ 和 $8m$。求 $AB$ 边的长。

现对其进行改造,扩建成等腰三角形,扩充部分(如图 6 - 4 - 9 ① ② ③ 中的阴影部分)是以 $8m$ 为直角边的直角三角形。

求扩建后的等腰三角形花圃的周长。

答案： 19.提示:$AB=10m$.图①中,$AD=AB$,$CD=6m$,$\triangle ABD$的周长为32m;图②中,$BE=AB$,$CE =4m$,$AE=4\sqrt{5}m$,$\triangle ABE$的周长为$(20 + 4\sqrt{5})m$;图③中,$AF=BF$,$AF^{2}=(AF - 6)^{2}+8^{2}$,解得$AF=\frac{25}{3}m$,$\triangle ABF$的周长为$\frac{80}{3}m$.