《2025年新课程学习指导八年级数学上册华师大版》

23. (6 分)由整式乘法和因式分解互为逆运算这个关系,我们发现了因式分解的两种方法：“提公因式法”和“公式法”。能否利用整式乘法,继续探究发现多项式的因式分解方法呢？请阅读下面内容,并尝试解答后面提出的问题。
用整式乘法将$(m + n)(x + y)$展开,得$(m + n)(x + y) = mx + my + nx + ny$。
把上式反过来$mx + my + nx + ny = (m + n)(x + y)$,
就是对多项式$mx + my + nx + ny$分解因式。
通过观察我们可以发现,多项式$mx + my + nx + ny的前两项有相同因式m$,后两项有相同因式$n$,我们可采用前两项结合、后两项结合来提取公因式$mx + my + nx + ny = (mx + my) + (nx + ny) = m(x + y) + n(x + y) = (m + n)(x + y)$。
类似地,$mx + my + nx + ny$的一、三项有相同因式$x$,二、四项有相同因式$y$,仿照上面的方法有$mx + my + nx + ny = (mx + nx) + (my + ny) = x(m + n) + y(m + n) = (m + n)(x + y)$。
以上分解因式的方法称为分组分解法。
像二次三项式$x^{2} - 3x + 2$,我们也可以运用分组分解法分解因式：$x^{2} - 3x + 2 = x^{2} - x - 2x + 2 = (x^{2} - x) - (2x - 2) = x(x - 1) - 2(x - 1) = (x - 1)(x - 2)$。
试用分组分解法分解因式：
(1)$a^{3} - b^{3} + a^{2}b - ab^{2}$。
(2)$x^{2} - x - 20$。

答案： $(1)$ 分解因式$a^{3}-b^{3}+a^{2}b - ab^{2}$
解：
$\begin{aligned}a^{3}-b^{3}+a^{2}b - ab^{2}&=(a^{3}+a^{2}b)-(ab^{2}+b^{3})\\&=a^{2}(a + b)-b^{2}(a + b)\\&=(a + b)(a^{2}-b^{2})\\&=(a + b)(a + b)(a - b)\\&=(a + b)^{2}(a - b)\end{aligned}$
$(2)$ 分解因式$x^{2}-x - 20$
解：
$\begin{aligned}x^{2}-x - 20&=x^{2}-5x+4x - 20\\&=(x^{2}-5x)+(4x - 20)\\&=x(x - 5)+4(x - 5)\\&=(x - 5)(x + 4)\end{aligned}$
综上，$(1)$的结果为$\boldsymbol{(a + b)^{2}(a - b)}$；$(2)$的结果为$\boldsymbol{(x - 5)(x + 4)}$。