《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版山东专版》

题组1 等边三角形
1. 如图，$\triangle ABC$是等边三角形，点$D$，$E$，$F$在$\triangle ABC$内部，点$D$在$AE$上，点$E$在$BF$上，点$F$在$CD$上，且$\angle BAE:\angle CBF:\angle ACD = 1:2:3$，则$\triangle DEF$的形状是
(A)


A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形

答案： 1.A

2. 如图，已知$\angle MON = 30°$，点$A_1$，$A_2$，$A_3$，$·s$在射线$ON$上，点$B_1$，$B_2$，$B_3$，$·s$在射线$OM$上，$\triangle A_1B_1A_2$，$\triangle A_2B_2A_3$，$\triangle A_3B_3A_4$，$·s$均为等边三角形，若$OA_1 = 2$，则$\triangle A_4B_4A_5$的边长是16.

答案： 2.16

3. 在等边三角形$ABC$中，点$E$在边$AB$上，点$D$在$CB$的延长线上，且$DE = EC$.
(1) 如图①，当$E$为$AB$的中点时，求证：$BC = 2BD$；
(2) 如图②，若$AB = 12$，$AE = 2$，求$CD$的长.

答案：
3.
(1)证明因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC=∠A=∠ACB=60°.
　由题意知EB=AE,
　所以CE⊥AB，CE是∠ACB的平分线.所以∠BEC=90°,∠BCE=30°.
　所以BC=2EB.
　因为ED=EC,
　所以∠EDC=∠ECD=30°.
　所以∠DEB=60°−30°=30°.
　所以BD=BE.所以BC=2BD.
(2)解如图,过点E作EF//BC，交AC于点F.
　　　　　　
　因为△ABC为等边三角形，
所以∠AFE=∠ACB=∠ABC=∠AEF=∠A=60°.所以△AEF为等边三角形.
　所以∠EFC=∠EBD=120°,EF=AE.因为ED=EC,所以∠EDB=∠ECB.因为EF//BC,所以∠ECB=∠FEC.所以∠EDB=∠FEC.
　在△BDE和△FEC中,
　　∠EBD=∠EFC,
　　∠EDB=∠FEC,
　　ED=EC,
所以△BDE≌△FEC(AAS).
　所以BD=EF.所以AE=BD.
　所以CD=BC+BD=12+2=14.