《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版山东专版》

22. 如果三角形的两个内角$\alpha$与$\beta$满足$2\alpha + \beta = 90^{\circ}$，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”.请解决以下问题：
(1)①若$\triangle ABC$是“奇妙互余三角形”，$\angle C ＞ 90^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，则$\angle B =$15°；
②若$\triangle ABC$是“奇妙互余三角形”，$\angle C ＞ 90^{\circ}$，$\angle A = 40^{\circ}$，则$\angle C =$115°或130°.
(2)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 52^{\circ}$，点$P$是射线$CB$上的一点，且$\triangle ABP$是“奇妙互余三角形”，请求出$\angle APC$的度数.

答案：
22.解：
(1)①15°　②115°或130°
(2)当P在线段BC上时，如图①，∠C = 90°，∠ABC = 52°. 当2∠PAB + ∠ABC = 90°时，∠PAB = $\frac{90° - 52°}{2}$ = 19°. ∠APC = 52° + 19° = 71°. 当∠PAB + 2∠ABC = 90°时，无解.
　　 　　
当P在CB延长线上时，如图②，因为∠ABC = 52°，所以∠ABP = 180° - 52° = 128°. 当2∠APC + ∠BAP = 90°时，因为∠APC + ∠BAP = ∠ABC，所以∠APC = 90° - ∠ABC = 38°. 当∠APC + 2∠BAP = 90°时，因为∠APC + ∠BAP = ∠ABC，所以∠BAP = 90° - ∠ABC = 38°. 所以∠APC = 52° - 38° = 14°.
综上所述，∠APC的度数为71°或38°或14°.

23. 在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$.
(1)如图①，$P$为线段$AD$上一点，过点$P$作$PE\bot AD$交线段$BC$的延长线于点$E$.
①若$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle ACB = 80^{\circ}$，则$\angle E =$25°；
②猜想$\angle E$与$\angle B$，$\angle ACB$之间的数量关系，并给出证明.
(2)如图②，$P$在线段$AD$的延长线上，过点$P$作$PE\bot AD$交直线$BC$于点$E$，请直接写出$\angle PED$与$\angle B$，$\angle C$的数量关系.
图①
图②

答案： 23.解：
(1)①25°
②∠E = $\frac{1}{2}$(∠ACB - ∠B). 证明如下：设∠B = x，∠ACB = y，因为AD平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC. 因为∠B + ∠ACB + ∠BAC = 180°，所以∠BAC = 180° - x - y. 所以∠BAD = $\frac{1}{2}$(180° - x - y). 所以∠PDE = ∠B + ∠BAD = x + $\frac{1}{2}$(180° - x - y) = 90° + $\frac{1}{2}$(x - y). 因为PE⊥AD，所以∠PDE + ∠E = 90°，所以∠E = 90° - [90° + $\frac{1}{2}$(x - y)] = $\frac{1}{2}$(y - x) = $\frac{1}{2}$(∠ACB - ∠B).
(2)∠PED = $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B)