《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版山东专版》

例3 在$\triangle ABC$中，若$\angle A+\angle B=\angle C$，则$\triangle ABC$是 ( )

A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.无法判断
 

答案： 3. C

例4 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A=\frac{1}{2}\angle B=\frac{1}{3}\angle ACB$，$CD$是$\triangle ABC$的高，$CE$是$\angle ACB$的平分线，判断$\triangle ABC$的形状，并求出$\angle DCE$的度数.
 
 

 

答案：
例4. 解 因为$\angle A=\frac{1}{2}\angle B=\frac{1}{3}\angle ACB$，
所以$\angle B=2\angle A$，$\angle ACB=3\angle A$.
因为$\angle A+\angle B+\angle ACB=180^{\circ}$，
所以$\angle A+2\angle A+3\angle A=180^{\circ}$. 解得$\angle A=30^{\circ}$.
所以$\angle ACB=90^{\circ}$. 所以$\triangle ABC$为直角三角形.
因为$CD$是$\triangle ABC$的高，所以$\angle ACD=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$.
因为$CE$是$\angle ACB$的平分线，所以$\angle ACE=\frac{1}{2}×90^{\circ}=45^{\circ}$.
所以$\angle DCE=\angle ACD-\angle ACE=60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}$.
解题要点
根据三角形的内角和定理及角平分线的定义，可以得出一个结论：如图，在$\triangle ABC$中，$BO$，$CO$是角平分线，且$BO$，$CO$相交于点$O$，则$\angle BOC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$.


解题要点
判断一个三角形是直角三角形的方法：一是根据定义，有一个角是直角的三角形是直角三角形；二是根据有两个角互余的三角形是直角三角形.