《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版山东专版》

例3 分解因式：$(x + y)^2 - 6(x + y - 1) + 3$.
 

答案： 例3 分解因式：$(x + y)^2 - 6(x + y - 1) + 3$.
解 原式 $= (x + y)^2 - 6(x + y) + 9 = (x + y - 3)^2$.

题组1 运用平方差公式分解因式
1. 若 $x + y = 3$，$x - y = 1$，则 $x^2 - y^2$ 的值为 (C)

A.1
B.2
C.3
D.-3

答案： 1. C

2. 分解因式 $x^4 - 1$，得 (B)

A.$(x^2 + 1)(x^2 - 1)$
B.$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$
C.$(x + 1)^2(x - 1)^2$
D.$(x - 1)(x + 1)^3$

答案： 2. B

3. $9x^2 - y^2$ 因式分解的结果为(3x+y)(3x-y).

答案： 3. (3x+y)(3x-y)

4. 分解因式：
(1) $4a^2 - 1$；
(2) $3y^2 - 12x^2$；
(3) $(x^2 - 2y)^2 - (1 - 2y)^2$；
(4) $25(a + b)^2 - (a - b)^2$.

答案： 1. （1）
解：
对于$4a^{2}-1$，根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，这里$m = 2a$，$n = 1$。
则$4a^{2}-1=(2a)^{2}-1^{2}=(2a + 1)(2a - 1)$。
2. （2）
解：
先提取公因式$3$，$3y^{2}-12x^{2}=3(y^{2}-4x^{2})$。
再根据平方差公式，$y^{2}-4x^{2}=y^{2}-(2x)^{2}$，其中$m = y$，$n = 2x$。
所以$3y^{2}-12x^{2}=3(y + 2x)(y - 2x)$。
3. （3）
解：
根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，这里$m=x^{2}-2y$，$n = 1 - 2y$。
则$(x^{2}-2y)^{2}-(1 - 2y)^{2}=[(x^{2}-2y)+(1 - 2y)][(x^{2}-2y)-(1 - 2y)]$。
化简得$(x^{2}-2y + 1 - 2y)(x^{2}-2y-1 + 2y)=(x^{2}-4y + 1)(x^{2}-1)$。
又因为$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$。
所以$(x^{2}-2y)^{2}-(1 - 2y)^{2}=(x^{2}-4y + 1)(x + 1)(x - 1)$。
4. （4）
解：
根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，这里$m = 5(a + b)$，$n=(a - b)$。
则$25(a + b)^{2}-(a - b)^{2}=[5(a + b)]^{2}-(a - b)^{2}$。
$=[5(a + b)+(a - b)][5(a + b)-(a - b)]$。
展开括号得$(5a+5b + a - b)(5a + 5b-a + b)$。
合并同类项得$(6a + 4b)(4a+6b)$。
再提取公因式$2$，$(6a + 4b)(4a + 6b)=4(3a + 2b)(2a + 3b)$。
综上，（1）$(2a + 1)(2a - 1)$；（2）$3(y + 2x)(y - 2x)$；（3）$(x^{2}-4y + 1)(x + 1)(x - 1)$；（4）$4(3a + 2b)(2a + 3b)$。

题组2 运用完全平方公式分解因式
5. 在下列多项式中，能用公式法分解因式的有 (B)
① $x^2 + y^2$；② $-x^2 + y^2$；③ $x^2 + 2xy - y^2$；④ $-x^2 + 4xy - 4y^2$.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 5. B

6. 已知 $x$ 是有理数，则多项式 $x - 1 - \frac{1}{4}x^2$ 的值 (B)

A.一定为负数
B.不可能为正数
C.一定为正数
D.可能是正数或负数或零

答案： 6. B

7. 若多项式 $x^2 - (m - 1)x + 16$ 能用完全平方公式进行因式分解，则 $m =$9 或 -7.

答案： 7. 9 或 -7

8. 分解因式：
(1) $(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2$；
(2) $a^2 - 2ab - c^2 + b^2$；
(3) $16m^4 - 8m^2n^2 + n^4$；
(4) $(x + 1)(x + 2) + \frac{1}{4}$.

答案： 8. 解
(1) 原式$=(x^{2}+y^{2}+2xy)(x^{2}+y^{2}-2xy)=(x+y)^{2}(x-y)^{2}. $
(2) 原式$=a^{2}-2ab+b^{2}-c^{2}=(a-b)^{2}-c^{2}=(a-b+c)(a-b-c). $
(3) 原式$=(4m^{2})^{2}-2 × 4m^{2} × n^{2}+(n^{2})^{2}=(4m^{2}-n^{2})^{2}=(2m+n)^{2}(2m-n)^{2}. $
(4) 原式$=x^{2}+3x+2+\frac{1}{4}=x^{2}+3x+\frac{9}{4}=(x+\frac{3}{2})^{2}.$