《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版山东专版》

20. (1) 已知 $A = 2x + y$，$B = 2x - y$，求 $A^2 - B^2$ 的值；
(2) 若 $x^2 + 2xy + y^2 - a(x + y) + 25$ 是完全平方式，求 $a$ 的值.

答案： 20.解
(1)$A^{2}-B^{2}=(2x + y)^{2}-(2x - y)^{2}=[(2x + y)+(2x - y)][(2x + y)-(2x - y)]=4x·2y = 8xy$。
(2)原式$=(x + y)^{2}-a(x + y)+5^{2}$，
因为原式为完全平方式，
所以$a(x + y)=\pm2×5·(x + y)$，
解得$a=\pm10$。

21. (1) 若 $x - 1$ 是关于 $x$ 的多项式 $x^2 + 2ax - 3a^2$ 的一个因式，求 $a$ 的值及另一个因式；
(2) 若 $a = 221x + 219$，$b = 221x + 220$，$c = 221x + 221$，求 $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ 的值.

答案： 21.解
(1)$x^{2}+2ax - 3a^{2}=(x - a)(x + 3a)$，
因为$x - 1$是$x^{2}+2ax - 3a^{2}$的一个因式，
所以$x - a=x - 1$或$x + 3a=x - 1$。
解得$a = 1$或$a=-\frac{1}{3}$。
当$a = 1$时，另一个因式为$x + 3$；
当$a=-\frac{1}{3}$时，另一个因式为$x+\frac{1}{3}$。
(2)因为$a = 221x + 219$，$b = 221x + 220$，$c = 221x + 221$，
所以$a - b=-1$，$b - c=-1$，$c - a = 2$。
所以$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ca$
$=\frac{2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab - 2bc - 2ca}{2}$
$=\frac{(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}}{2}$
$=\frac{(-1)^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}{2}$
$=3$。

22. 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如 $x^2 - 2xy + y^2 - 16$.我们仔细观察这个式子，可以发现前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解.过程如下：$x^2 - 2xy + y^2 - 16 = (x - y)^2 - 16 = (x - y + 4)(x - y - 4)$.这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1) $9a^2 + 4b^2 - 25m^2 - n^2 + 12ab + 10mn$；
(2) 已知 $a$，$b$，$c$ 分别是$\bigtriangleup ABC$三边的长，且 $2a^2 + b^2 + c^2 - 2a(b + c) = 0$，请判断$\bigtriangleup ABC$的形状，并说明理由.

答案： $(1)$ 分解因式 $9a^{2}+4b^{2}-25m^{2}-n^{2}+12ab + 10mn$
解：
$\begin{aligned}&9a^{2}+4b^{2}-25m^{2}-n^{2}+12ab + 10mn\\=&(9a^{2}+12ab + 4b^{2})-(25m^{2}-10mn + n^{2})\\=&(3a + 2b)^{2}-(5m - n)^{2}\\=&(3a + 2b + 5m - n)(3a + 2b - 5m + n)\end{aligned}$
$(2)$ 判断$\triangle ABC$的形状
解：
已知$2a^{2}+b^{2}+c^{2}-2a(b + c)=0$，对其进行变形：
$\begin{aligned}2a^{2}+b^{2}+c^{2}-2a(b + c)&=0\\(a^{2}-2ab + b^{2})+(a^{2}-2ac + c^{2})&=0\\(a - b)^{2}+(a - c)^{2}&=0\end{aligned}$
因为一个数的平方是非负的，即$(a - b)^{2}\geq0$，$(a - c)^{2}\geq0$。
要使$(a - b)^{2}+(a - c)^{2}=0$成立，则$(a - b)^{2}=0$且$(a - c)^{2}=0$。
由$(a - b)^{2}=0$可得$a - b = 0$，即$a = b$；由$(a - c)^{2}=0$可得$a - c = 0$，即$a = c$。
所以$a = b = c$，故$\triangle ABC$是等边三角形。
综上，答案依次为：$(1)$$(3a + 2b + 5m - n)(3a + 2b - 5m + n)$；$(2)$等边三角形，理由见上述解析。