《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版山东专版》

8. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的$\frac{1}{2}$，那么我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”.例如：在$\triangle ABC$中，如果$\angle A = 80°$，$\angle B = 40°$，那么$\angle A$与$\angle B$互为“友爱角”（$\angle A ＞ \angle B$），$\triangle ABC$为“友爱三角形”.
(1) 如图①，$\triangle ABC$是“友爱三角形”，且$\angle A$与$\angle B$互为“友爱角”（$\angle A ＞ \angle B$），$\angle ACB = 90°$.
①求$\angle A$和$\angle B$的度数；
②若$CD$是$\triangle ABC$的边$AB$上的高，则$\triangle ACD$和$\triangle BCD$都是“友爱三角形”吗？为什么？
(2) 如图②，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 70°$，$\angle A = 66°$，$D$是边$AB$上一点（不与点$A$，$B$重合），连接$CD$.已知$\triangle ACD$是“友爱三角形”，直接写出$\angle ACD$的度数.

答案： 8. 解（1）①因为△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A ＞ ∠B），所以∠A = 2∠B.
因为∠ACB = 90°，所以∠A + ∠B = 180° - 90° = 90°. 即2∠B + ∠B = 90°，解得∠B = 30°. 所以∠A = 60°.
②△ACD和△BCD都是“友爱三角形”. 理由：因为CD是△ABC的边AB上的高，所以∠ADC = ∠BDC = 90°.
因为∠A = 60°，∠B = 30°，所以∠ACD = 30°，∠BCD = 60°.
在△ACD中，∠A = 60°，∠ACD = 30°，所以∠ACD = $\frac{1}{2}$∠A. 所以△ACD为“友爱三角形”.
在△BCD中，∠BCD = 60°，∠B = 30°，所以∠B = $\frac{1}{2}$∠BCD. 所以△BCD为“友爱三角形”.
（2）33°或38°