《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版山东专版》

3.某校七年级一班同学参加了学校科技
节比赛，制作了一个飞机模型，为了向同学宣传自己的科技作品制作了宣传版画如图所示，它是由一个三角形，两个梯形组成的.
(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的
总面积(结果需化简);
(2)若a+b=7，ab=$\frac{45}{4}$，求阴影部分的总面积.

答案： 解（1）阴影部分的面积为$\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}(b + 3b) × \frac{3}{2}b + \frac{1}{2}(b + 6a - 2b) × a =$
$3a^{2} + 3b^{2}$.
（2）因为$a + b = 7$，$ab = \frac{45}{4}$，
所以$3a^{2} + 3b^{2} = 3(a^{2} + b^{2}) = 3[(a + b)^{2} - 2ab] = 3 × (49 - \frac{45}{2}) = \frac{159}{2}$.

4.解答下列问题.
(1)已知a−b=1，a²+b²=17，求ab
的值.
(2)如图，已知两个正方形的边长分别
为a，b，若a十b=7，ab=9，求图中阴影部
分的面积.
(3)若(225−x)(x−224)=−6，则
(225−x)²+(x−224)²的值为13.

答案： 解（1）因为$a - b = 1$，$a^{2} + b^{2} = 17$，
$(a - b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab$，
所以$1^{2} = 17 - 2ab$，解得$ab = 8$.
（2）根据题意可得图中阴影部分的面积$= a^{2} - 2 × \frac{1}{2}b(a - b) = a^{2} + b^{2} - ab$.
因为$a + b = 7$，所以$(a + b)^{2} = 7^{2}$，
即$a^{2} + 2ab + b^{2} = 49$，
因为$ab = 9$，所以$a^{2} + b^{2} + 2 × 9 = 49$，
即$a^{2} + b^{2} = 31$，
所以图中阴影部分的面积$= 31 - 9 = 22$.
（3）$13$

[阅读材料]图形是一种重要的数学语
言，对于同一个图形，可以用不同的方法计
算图形的面积，从而得到一个数学等式.已
知下列等式成立:
①(a+b)²=a²+2ab+b²;②(a+b+
c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc.
如图①，通过不同的方法计算边长为
a十b的正方形的面积，可以说明等式①的合理性.
[问题解决]如图②，将边长为a+b十c
的正方形ABCD分割成几个小正方形与小长方形.
(1)请你根据图②的面积说明等式②的
合理性;
(2)若a，b，c满足a+b+c=12,
ab+bc十ac=33，求a²+b²十c²的值.
[拓展探究]如图③，有三种规格的纸片:
a×a，b×b，a×b(其中a＜b)若干张.
(3)请你利用上述纸片拼接一个大长方形，并能利用它的面积说明等式(2a十b).
(a+2b)=2a²+5ab+2b²成立.请画出你的
设计示意图.(画出一种即可，不需说明成立的理由)
  

答案：

(1) S正方形ABCD​=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，


S正方形ABCD​=(a+b+c)2，
所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac。
(2) 由条件可知 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)，
122=a2+b2+c2+2×33，
a2+b2+c2=144−66=78。
(3) 图形不唯一，如图所示：
S长方形ABCD​=2a2+5ab+2b2，
S长方形ABCD​=(2a+b)(a+2b)，
所以(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2。