《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版山东专版》

4. 发现与探索
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动.
(1) 操作判断
如图，操作一：折叠三角形纸片，使$BC$与$BA$边在一条直线上，得到折痕$BD$；操作二：折叠三角形纸片，得到折痕$AE$，使点$B$，$C$，$E$在一条直线上.完成以上操作后把纸片展平，判断$BD$是$\triangle ABC$的角平分线(从“中线、角平分线、高线”中选填)，$\angle AEC =$90°.

(2) 深入探究
操作三：过点$D$折叠三角形纸片，使点$A$落在折痕$AE$上，得到折痕$DF$，把纸片展平.根据以上操作，判断$\angle DBF$和$\angle BDF$是否相等，并说明理由.
(3) 结论应用
已知$\angle BDC = 106°$，$\angle ACB = 54°$，则$\angle AHB =$110°.

答案：
4. 解（1）角平分线 90°
（2）∠DBF = ∠BDF. 理由：如图，设点A的对应点为点P，因为过点D折叠△ABC，使点A落在折痕AE上，得到折痕DF，所以DF垂直平分AP. 因为点P在AE上，所以DF⊥AE. 由（1）得BC⊥AE，所以DF//BC. 所以∠BDF = ∠CBD. 又∠DBF = ∠CBD，所以∠DBF = ∠BDF.

（3）110°

某数学兴趣小组对“三角形内角平分线(或外角平分线)的夹角与第三个内角之间的数量关系”进行了探究.
(1) 如图①，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC$与$\angle ACB$的平分线交于点$P$，若$\angle A = 66°$，则$\angle BPC =$；
(2) 如图②，$\triangle ABC$的内角$\angle ACB$的平分线与$\triangle ABC$的外角$\angle ABD$的平分线交于点$E$，若$\angle A = \alpha$，则$\angle E =$(用含$\alpha$的式子表示)；
(3) 如图③，$\triangle ABC$的外角$\angle CBM$与$\angle BCN$的平分线交于点$Q$.请写出$\angle Q$与$\angle A$之间的数量关系，并说明理由.
(1) $123°$
解析　因为$\angle ABC$与$\angle ACB$的平分线交于点$P$，
所以$BP$，$CP$分别平分$\angle ABC$和$\angle ACB$.所以$\angle PBC = \frac{1}{2} \angle ABC$，$\angle PCB = \frac{1}{2} \angle ACB$.
因为$\angle BPC + \angle PBC + \angle PCB = 180°$，
所以$\angle BPC = 180° - (\angle PBC + \angle PCB) = 180° - \frac{1}{2} (\angle ABC + \angle ACB) = 180° - \frac{1}{2} (180° - \angle A) = 180° - 90° + \frac{1}{2} \angle A = 90° + \frac{1}{2} × 66° = 123°$.
(2) $\frac{1}{2} \alpha$
解析　因为$\triangle ABC$的内角$\angle ACB$的平分线与$\triangle ABC$的外角$\angle ABD$的平分线交于点$E$，所以$\angle ECB = \frac{1}{2} \angle ACB$，$\angle EBD = \frac{1}{2} \angle ABD$.
因为$\angle ABD$是$\triangle ABC$的外角，$\angle EBD$是$\triangle BCE$的外角，
所以$\angle ABD = \angle A + \angle ACB$，$\angle EBD = \angle ECB + \angle E$.
所以$\angle EBD = \frac{1}{2} \angle ABD = \frac{1}{2} (\angle A + \angle ACB) = \frac{1}{2} \angle A + \angle ECB$.
即$\frac{1}{2} \angle A + \angle ECB = \angle E + \angle ECB$.
所以$\angle E = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \alpha$.
(3) 解$\angle Q = 90° - \frac{1}{2} \angle A$.理由如下：
因为$\angle CBM$与$\angle BCN$是$\triangle ABC$的外角，
所以$\angle CBM = \angle A + \angle ACB$，$\angle BCN = \angle A + \angle ABC$.
因为$\triangle ABC$的外角$\angle CBM$与$\angle BCN$的平分线交于点$Q$，
所以$\angle QBC = \frac{1}{2} (\angle A + \angle ACB)$，$\angle QCB = \frac{1}{2} (\angle A + \angle ABC)$.
因为$\angle QBC + \angle QCB + \angle Q = 180°$，
所以$\angle Q = 180° - \angle QBC - \angle QCB = 180° - \frac{1}{2} (\angle A + \angle ACB) - \frac{1}{2} (\angle A + \angle ABC) = 180° - \frac{1}{2} \angle A - \frac{1}{2} (\angle A + \angle ABC + \angle ACB) = 180° - \frac{1}{2} \angle A - 90° = 90° - \frac{1}{2} \angle A$.

答案：
(1) $123^{\circ}$
(2) $\frac{1}{2}\alpha$
(3) $\angle Q = 90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle A$。理由如下：
因为$\angle CBM$与$\angle BCN$是$\triangle ABC$的外角，
所以$\angle CBM = \angle A + \angle ACB$，$\angle BCN = \angle A + \angle ABC$。
因为$BQ$，$CQ$分别平分$\angle CBM$和$\angle BCN$，
所以$\angle QBC = \frac{1}{2}\angle CBM = \frac{1}{2}(\angle A + \angle ACB)$，$\angle QCB = \frac{1}{2}\angle BCN = \frac{1}{2}(\angle A + \angle ABC)$。
在$\triangle QBC$中，$\angle Q = 180^{\circ} - \angle QBC - \angle QCB$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle ACB) - \frac{1}{2}(\angle A + \angle ABC)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(2\angle A + \angle ABC + \angle ACB)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + 180^{\circ})$
$= 90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle A$。