《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版山东专版》

21.如图， ∠BAD=∠CAE=90°,AB=
AD，AE=AC，AF⊥CF，垂足为F.
(1) 若AC=10， 求四边形ABCD的
面积;
(2)求证:CE=2AF.

答案：
21.（1）解 因为∠BAD = ∠CAE = 90°，
所以∠BAC + ∠CAD = ∠EAD + ∠CAD.
所以∠BAC = ∠EAD.
在△ABC和△ADE中，
AB = AD,
∠BAC = ∠DAE,
AC = AE,
所以△ABC≌△ADE（SAS）.
所以S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD = S△ADE + S△ACD = S△ACE = $\frac{1}{2}$×10² = 50.
（2）证明 由题意知△ACE是等腰直角三角形，所以∠ACE = ∠E = 45°.
由（1）知△ABC≌△ADE，
得∠ACB = ∠E = 45°.
所以∠ACB = ∠ACE.
所以CA平分∠ECF.
如图，过点A作AG⊥CE，垂足为点G.

因为CA平分∠ECF，AF⊥CB，
所以AF = AG.
在Rt△ACG和Rt△AEG中，
AC = AE,
AG = AG,
所以Rt△ACG≌Rt△AEG（HL）.
所以∠CAG = ∠EAG.
所以∠CAG = ∠EAG = ∠ACE = ∠E = 45°.
所以△ACG≌△EAG.
所以CG = AG = EG.所以CE = 2AG.
所以CE = 2AF.

22. 如图 ①， OA = OB， OC = OD,
∠AOB=∠COD，连接AC和BD相交
于点E，连接OE.
(1)求证:AC=BD;
(2)求证:EO平分∠AED;
(3) 当∠AOB=60°时， 如图②，点F
为BD上一点， DF=CE， 连接OF，
OF=BE，AC交OB于点G， 求证:
EG平分∠OEB.

答案：
22.证明（1）因为∠AOB = ∠COD，所以∠AOB + ∠BOC = ∠COD + ∠BOC.
即∠AOC = ∠BOD.
在△AOC和△BOD中，
OA = OB,
∠AOC = ∠BOD,
OC = OD,
所以△AOC≌△BOD（SAS）.
所以AC = BD.
（2）过点O作OM⊥AC于点M，ON⊥BD于点N，如图所示.

由（1）知△AOC≌△BOD，AC = BD，所以S△AOC = S△BOD，
即$\frac{1}{2}$AC·OM = $\frac{1}{2}$BD·ON，
所以OM = ON.
因为OM⊥AC，ON⊥BD，
所以EO平分∠AED.
（3）因为△AOC≌△BOD，
所以∠OCE = ∠ODF.
在△OCE和△ODF中，
OC = OD,
∠OCE = ∠ODF,
CE = DF,
所以△OCE≌△ODF（SAS）.
所以OE = OF.
因为OF = BE，所以OE = BE.
在△OAG中，∠AOB = 60°，
所以∠OAC + ∠AGO = 180° - ∠AOB = 120°.
因为∠OAC = ∠OBD，∠AGO = ∠BGE，
所以∠OBD + ∠BGE = 120°.
在△BEG中，∠BEG = 180° - （∠OBD + ∠BGE）= 60°，
所以∠AED = 180° - ∠BEG = 120°.
由（2）可知EO平分∠AED.
所以∠OEG = $\frac{1}{2}$∠AED = 60°.
所以∠BEG = ∠OEG = 60°.
所以EG平分∠OEB.