《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版山东专版》

如图①，已知线段$AB$，$CD$相交于点$O$，连接$AD$和$CB$，我们把这种图形称之为“８字型”，试解答下列问题.
(1) 在图①中写出$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$，$\angle D$之间的等量关系：.
(2) 如图②，$\angle DAB$和$\angle BCD$的平分线$AP$和$CP$相交于点$P$，并与$CD$，$AB$分别交于点$M$，$N$.
①若$\angle D = 40°$，$\angle B = 36°$，求$\angle P$的度数；
②探究$\angle P$与$\angle D$，$\angle B$之间有何等量关系，并说明理由.
(1) $\angle A + \angle D = \angle B + \angle C$
解析　在$\triangle OAD$中，$\angle A + \angle D + \angle AOD = 180°$.
在$\triangle OBC$中，$\angle B + \angle C + \angle BOC = 180°$.
因为$\angle AOD = \angle BOC$，
所以$\angle A + \angle D = \angle B + \angle C$.
(2) 解①因为$\angle D = 40°$，$\angle B = 36°$，
由 (1) 的结论得$\angle DAB + \angle D = \angle B + \angle BCD$.
所以$\angle DAB + 40° = 36° + \angle BCD$.
所以$\angle BCD - \angle DAB = 4°$.
因为$\angle DAB$和$\angle BCD$的平分线$AP$和$CP$相交于点$P$，
所以$\angle DAB = 2\angle DAP$，$\angle BCD = 2\angle DCP$.
所以$2\angle DCP - 2\angle DAP = 4°$.
所以$\angle DCP - \angle DAP = 2°$.
因为$DC$，$AP$交于点$M$，
由“８字型”结论得$\angle D + \angle DAP = \angle P + \angle DCP$.
所以$\angle P = \angle D - (\angle DCP - \angle DAP) = 40° - 2° = 38°$.
②$\angle P = \frac{1}{2} (\angle D + \angle B)$.理由如下：
由 (1) 的结论得$\angle DAB + \angle D = \angle B + \angle BCD$，
所以$\angle BCD - \angle DAB = \angle D - \angle B$.
因为$\angle DAB$和$\angle BCD$的平分线$AP$和$CP$相交于点$P$，
所以$\angle DAB = 2\angle DAP$，$\angle BCD = 2\angle DCP$.
所以$2\angle DCP - 2\angle DAP = \angle D - \angle B$.
即$\angle DCP - \angle DAP = \frac{1}{2} (\angle D - \angle B)$.
因为$DC$，$AP$交于点$M$，
由“８字型”结论得$\angle D + \angle DAP = \angle P + \angle DCP$.
所以$\angle P = \angle D - (\angle DCP - \angle DAP) = \angle D - \frac{1}{2} (\angle D - \angle B) = \frac{1}{2} (\angle D + \angle B)$.
即$\angle P = \frac{1}{2} (\angle D + \angle B)$.

答案：
(1) $\angle A + \angle D = \angle B + \angle C$。
(2) ①
由题（1）结论得：
$\angle DAB + \angle D = \angle B + \angle BCD$，
$\angle DAB + 40° = 36° + \angle BCD$，
$\angle BCD - \angle DAB = 4°$。
由于$AP$和$CP$是角平分线：
$\angle DAB = 2\angle DAP$，
$\angle BCD = 2\angle DCP$，
$2\angle DCP - 2\angle DAP = 4°$，
$\angle DCP - \angle DAP = 2°$。
由“8字型”图得：
$\angle D + \angle DAP = \angle P + \angle DCP$，
$\angle P = \angle D - (\angle DCP - \angle DAP) = 40° - 2° = 38°$。
所以$\angle P$的度数为$38°$。
② $\angle P = \frac{1}{2} (\angle D + \angle B)$。
理由如下：
由题（1）结论得：
$\angle DAB + \angle D = \angle B + \angle BCD$，
$\angle BCD - \angle DAB = \angle D - \angle B$。
由于$AP$和$CP$是角平分线：
$\angle DAB = 2\angle DAP$，
$\angle BCD = 2\angle DCP$，
$2\angle DCP - 2\angle DAP = \angle D - \angle B$，
$\angle DCP - \angle DAP = \frac{1}{2} (\angle D - \angle B)$。
由“8字型”图得：
$\angle D + \angle DAP = \angle P + \angle DCP$，
$\angle P = \angle D - (\angle DCP - \angle DAP) = \angle D - \frac{1}{2} (\angle D - \angle B) = \frac{1}{2} (\angle D + \angle B)$。
即$\angle P = \frac{1}{2} (\angle D + \angle B)$。