《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版山东专版》

5. 已知点$O$是$\bigtriangleup ABC$内一点，且到三边的距离相等，$\angle BOC = 120^{\circ}$，则$\angle A =$60$^{\circ}$.

答案： 5.60

6. 如图，点$P$是$\angle AOB$内一点，$PD \perp OA$，$PE \perp OB$，垂足分别为$D$，$E$，且$OD = OE$，求证：点$P$在$\angle AOB$的平分线上.

答案：
6.证明 连接 OP，如图。

因为 PD⊥AO，PE⊥OB，
所以∠PDO = ∠PEO = 90°。
在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中，$\begin{cases}OD = OE,\\OP = OP,\end{cases}$
所以 Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）。
所以 PD = PE。
所以点 P 在∠AOB 的平分线上。

7. 如图，点$B$，$D$，$C$分别是$AF$，$AG$和$AE$上的一点，且满足$BD = CD$，$\angle ABD + \angle ACD = 180^{\circ}$.求证：$AD$平分$\angle BAC$.

答案：
7.证明 过点 D 作 DP⊥AC 于点 P，过点 D 作 DQ⊥AB 于点 Q，如图所示。

则∠DPC = ∠DQB = 90°。
因为 ∠ABD + ∠ACD = 180°，∠ACD + ∠DCP = 180°，
所以∠DCP = ∠DBQ。
在△DCP 和△DBQ 中，$\begin{cases}∠DCP = ∠DBQ,\\∠DPC = ∠DQB,\\CD = BD,\end{cases}$
所以△DCP≌△DBQ（AAS）。
所以 DP = DQ。
因为 DP⊥AC，DQ⊥AB，
所以 AD 平分∠BAC。

8. 图①是一个平分角的仪器，其中$OD = OE$，$FD = FE$.
（1）如图②，将仪器放置在$\bigtriangleup ABC$上，使点$O$与顶点$A$重合，$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，沿$AF$画一条射线$AP$，交$BC$于点$P$.$AP$是$\angle BAC$的平分线吗？请判断并说明理由.
（2）如图③，在（1）的条件下，过点$P$作$PQ \perp AB$于点$Q$，若$PQ = 6$，$AC = 9$，$\bigtriangleup ABC$的面积是$60$，求$AB$的长.

答案：
8.解（1）AP 是∠BAC 的平分线。
理由如下：
在△ADF 和△AEF 中，$\begin{cases}AD = AE,\\FD = FE,\\AF = AF,\end{cases}$
所以△ADF≌△AEF（SSS）。
所以∠DAF = ∠EAF。
所以 AP 平分∠BAC。
（2）如图，过点 P 作 PG⊥AC 于点 G。

因为 AP 平分∠BAC，PQ⊥AB，
所以 PG = PQ = 6。
因为 $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABP} + S_{\triangle APC} = \frac{1}{2}AB · PQ + \frac{1}{2}AC · PG$，所以 $\frac{1}{2}AB × 6 + \frac{1}{2} × 9 × 6 = 60$。所以 AB = 11。