《2025年同步练习册人民教育出版社八年级数学上册人教版山东专版》

24. 小明在学习中遇到这样一个问题：如图①，在$\triangle ABC$中，$\angle C ＞ \angle B$，$AE$平分$\angle BAC$，$AD\bot BC$于点$D$，猜想$\angle EAD$与$\angle B$，$\angle C$之间的数量关系.
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路.于是尝试代入$\angle B$，$\angle C$的值求$\angle EAD$的值，得到下面几组对应值.表中$a =$20°，$\angle EAD$与$\angle B$，$\angle C$之间的数量关系为∠EAD = $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B).

【变式应用】
（2）小明继续研究，如图②，$\angle B = 35^{\circ}$，$\angle C = 75^{\circ}$，其余条件不变，若把“$AD\bot BC$于点$D$”改为“$F$是线段$AE$上一点（$F$与$A$，$E$不重合），$FD\bot BC$于点$D$”，求$\angle DFE$的度数，并直接写出$\angle DFE$与$\angle B$，$\angle C$之间的数量关系.
(3)小明突发奇想，交换$B$，$C$两个字母的位置，如图③，若把(2)中的“$F$是线段$AE$上一点”改为“$F$是线段$EA$延长线上一点”，其余条件不变，当$\angle ABC = 88^{\circ}$，$\angle C = 24^{\circ}$时，$\angle F$的度数为32°.
图①
图②
图③

答案：
24.解：
(1)20°　∠EAD = $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B)
(2)如图，过点A作AG⊥BC于点G.
　　　　　　　
因为FD⊥BC，AG⊥BC，所以FD//AG. 所以∠DFE = ∠EAG. 因为∠B = 35°，∠C = 75°，所以∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 70°，∠BAG = 90° - ∠B = 55°. 因为AE平分∠BAC，所以∠BAE = ∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = 35°. 所以∠EAG = ∠BAG - ∠BAE = 20°. 所以∠DFE = 20°. 可得∠DFE = $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B).
(3)32°