《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

16. (10分) 把抛物线 $ C_{1} $：$ y = x^{2} + 2x + 3 $ 先向右平移4个单位长度,再向下平移5个单位长度得到抛物线 $ C_{2} $.
(1) 直接写出抛物线 $ C_{2} $ 的函数关系式.
(2) 动点 $ P(a, -6) $ 能否在抛物线 $ C_{2} $ 上？请说明理由.

答案：
(1)原抛物线 $C_1$ 的函数关系式为 $y = x^2 + 2x + 3$。
首先，将其化为顶点式：$y = (x + 1)^2 + 2$。
根据平移规律，向右平移4个单位长度，即 $x$ 替换为 $x - 4$；
向下平移5个单位长度，即在函数值上减5。
所以，抛物线 $C_2$ 的函数关系式为：
$y = (x + 1 - 4)^2 + 2 - 5 = (x - 3)^2 - 3$。
即$y = x^2 - 6x + 6$。
(2)动点 $P(a, -6)$ 的 $y$ 坐标为 $-6$，将其代入抛物线 $C_2$ 的函数关系式 $y = (x - 3)^2 - 3$，得到：
$(x - 3)^2 - 3 = -6$，
$(x - 3)^2 = -3$。
由于平方数不能为负数，所以该方程无实数解。
因此，动点 $P(a, -6)$ 不能在抛物线 $C_2$ 上。

17. (8分) 要围成一个矩形花圃,花圃的一边利用足够长的墙,另三边用总长为32m的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形 $ ABCD $.设边 $ AB $ 的长为 $ x $ m,矩形 $ ABCD $ 的面积为 $ S $ m^2.
(1) 求 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数表达式.(不要求写出自变量 $ x $ 的取值范围)
(2) 当 $ x $ 为何值时,$ S $ 有最大值？并求出最大值.

答案：
(1) 由题意知，$AB = CD = x$ m，
因为篱笆总长为$32$m，且一边靠墙，
所以$BC = (32 - 2x)$m，
矩形面积$S = AB × BC = x(32 - 2x) = -2x^2 + 32x$。
(2) 对于二次函数$S = -2x^2 + 32x$，
因为二次项系数为负，所以函数开口向下，有最大值，
最大值出现在对称轴上，对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{32}{2 × (-2)} = 8$，
将$x = 8$代入$S = -2x^2 + 32x$，
得$S = -2 × 8^2 + 32 × 8 = 128$。
所以当$x = 8$时，$S$有最大值，最大值为$128m^2$。

18. (9分) 小尧用“描点法”画二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象,列表如下：
| $ x $ | … | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| $ y $ | … | 5 | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | -5 | … |
(1) 由于粗心,小尧算错了其中的一个 $ y $ 值,请你指出这个算错的 $ y $ 值所对应的 $ x = $2.
(2) 在图中画出这个二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象；
(3) 当 $ y \geq 5 $ 时,$ x $ 的取值范围是x≤-4或x≥2.

(2) （在给定坐标系中描出点(-4,5)，(-3,0)，(-2,-3)，(-1,-4)，(0,-3)，(1,0)，(2,5)，并顺次连接成抛物线）

答案：
(1) 2
(2) （在给定坐标系中描出点(-4,5)，(-3,0)，(-2,-3)，(-1,-4)，(0,-3)，(1,0)，(2,5)，并顺次连接成抛物线）
(3) x≤-4或x≥2