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18. (9 分) 如图,已知$\triangle ABC\sim\triangle ACD$.
(1) 若$CD平分\angle ACB$,$\angle ACD = 35^{\circ}$,求$\angle ADC$的度数.
(2) 若$AD = 3$,$BD = 5$,求$AC$的长.
(1) 若$CD平分\angle ACB$,$\angle ACD = 35^{\circ}$,求$\angle ADC$的度数.
(2) 若$AD = 3$,$BD = 5$,求$AC$的长.
答案：
(1)
因为$CD$平分$\angle ACB$，$\angle ACD = 35^{\circ}$，所以$\angle ACB = 2\angle ACD = 70^{\circ}$。
由于$\triangle ABC\sim\triangle ACD$，则$\angle A = \angle A$，$\angle B = \angle ACD = 35^{\circ}$，$\angle ACB = \angle ADC$。
所以$\angle ADC = 70^{\circ}$。
(2)
因为$\triangle ABC\sim\triangle ACD$，所以$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$AC^{2}=AB× AD$。
已知$AD = 3$，$BD = 5$，则$AB=AD + BD=3 + 5 = 8$。
所以$AC^{2}=8×3 = 24$，则$AC=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
(1)
因为$CD$平分$\angle ACB$，$\angle ACD = 35^{\circ}$，所以$\angle ACB = 2\angle ACD = 70^{\circ}$。
由于$\triangle ABC\sim\triangle ACD$，则$\angle A = \angle A$，$\angle B = \angle ACD = 35^{\circ}$，$\angle ACB = \angle ADC$。
所以$\angle ADC = 70^{\circ}$。
(2)
因为$\triangle ABC\sim\triangle ACD$，所以$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$AC^{2}=AB× AD$。
已知$AD = 3$，$BD = 5$，则$AB=AD + BD=3 + 5 = 8$。
所以$AC^{2}=8×3 = 24$，则$AC=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
19. (8 分) 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$E是BC$上一点,$ED\perp AB$,垂足为$D$. 求证：$\triangle ABC\sim\triangle EBD$.
答案：
∵ $ED \perp AB$（已知），
∴ $\angle EDB = 90°$（垂直定义）。
∵ $\angle C = 90°$（已知），
∴ $\angle ACB = \angle EDB$（等量代换）。
∵ $\angle B = \angle B$（公共角），
在$\triangle ABC$与$\triangle EBD$中：
$\angle ACB = \angle EDB$，
$\angle B = \angle B$，
∴ $\triangle ABC \sim \triangle EBD$（两角对应相等的两个三角形相似）。
∵ $ED \perp AB$（已知），
∴ $\angle EDB = 90°$（垂直定义）。
∵ $\angle C = 90°$（已知），
∴ $\angle ACB = \angle EDB$（等量代换）。
∵ $\angle B = \angle B$（公共角），
在$\triangle ABC$与$\triangle EBD$中：
$\angle ACB = \angle EDB$，
$\angle B = \angle B$，
∴ $\triangle ABC \sim \triangle EBD$（两角对应相等的两个三角形相似）。
20. (8 分) 如图 1 所示的遮阳伞,伞柄垂直于水平地面,其示意图如图 2. 当伞收紧时,点$P与点A$重合；当伞慢慢撑开时,动点$P由A向B$移动；当点$P到达点B$时,伞张得最开. 已知伞在撑开的过程中,总有$PM = PN = CM = CN = 6.0dm$,$CE = CF = 18.0dm$,$BC = 2.0dm$.
(1) 求$AP$长的取值范围.
(2) 在阳光垂直照射下,伞张得最开时,求伞下的阴影(假定为圆面)面积$S$(结果保留$\pi$).
(1) 求$AP$长的取值范围.
(2) 在阳光垂直照射下,伞张得最开时,求伞下的阴影(假定为圆面)面积$S$(结果保留$\pi$).
答案：
(1) 当伞收紧时，点$P$与$A$重合，$AP=0$；当伞撑开最大时，点$P$到达$B$。
由$CM=PM=6dm$，知点$C$、$P$在以$M$为圆心，$6dm$为半径的圆上，故$CP$为该圆的弦。
当伞收紧时，$CP$最长（直径），$CP=12dm$，即$CA=12dm$；
当伞撑开最大时，$P$与$B$重合，$BC=2dm$，即$CP=CB=2dm$。
因$C$、$B$、$A$共线，$AB=CA-CB=12-2=10dm$，故$AP$取值范围为$0\leq AP\leq10dm$。
(2) 伞张得最开时，$P$与$B$重合，$CP=2dm$。
在$\odot M$中，弦$CP=2dm$，半径$6dm$，圆心$M$到$CP$距离$d=\sqrt{6^2-(\frac{2}{2})^2}=\sqrt{35}dm$。
$CE=18dm$，$CM=6dm$，则$CE=3CM$，故$E$到$CP$距离为$3d=3\sqrt{35}dm$（即阴影半径$r$）。
阴影面积$S=\pi r^2=\pi(3\sqrt{35})^2=315\pi$。
(1) $0\leq AP\leq10dm$
(2) $315\pi$
(1) 当伞收紧时，点$P$与$A$重合，$AP=0$；当伞撑开最大时，点$P$到达$B$。
由$CM=PM=6dm$，知点$C$、$P$在以$M$为圆心，$6dm$为半径的圆上，故$CP$为该圆的弦。
当伞收紧时，$CP$最长（直径），$CP=12dm$，即$CA=12dm$；
当伞撑开最大时，$P$与$B$重合，$BC=2dm$，即$CP=CB=2dm$。
因$C$、$B$、$A$共线，$AB=CA-CB=12-2=10dm$，故$AP$取值范围为$0\leq AP\leq10dm$。
(2) 伞张得最开时，$P$与$B$重合，$CP=2dm$。
在$\odot M$中，弦$CP=2dm$，半径$6dm$，圆心$M$到$CP$距离$d=\sqrt{6^2-(\frac{2}{2})^2}=\sqrt{35}dm$。
$CE=18dm$，$CM=6dm$，则$CE=3CM$，故$E$到$CP$距离为$3d=3\sqrt{35}dm$（即阴影半径$r$）。
阴影面积$S=\pi r^2=\pi(3\sqrt{35})^2=315\pi$。
(1) $0\leq AP\leq10dm$
(2) $315\pi$
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