《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

23. (12 分) 【问题初探】在实验课上, 小明做了一个实验. 如图, 在仪器左边托盘 $ A $ (固定) 中放置一个物体, 在右边托盘 $ B $ (可左右移动) 中放置一个可以装水的容器, 容器的质量为 $ 5 $ g. 在容器中加入一定质量的水, 可以使仪器左右平衡. 改变托盘 $ B $ 与点 $ C $ 的距离 $ x $ (cm) ($ 0 ＜ x \leq 60 $), 记录容器中加入水的质量, 得到下表:
| 托盘 $ B $ 与点 $ C $ 的距离 $ x/cm $ | $ 30 $ | $ 25 $ | $ 20 $ | $ 15 $ | $ 10 $ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 容器与水的总质量 $ y_1/g $ | $ 10 $ | $ 12 $ | $ 15 $ | $ 20 $ | $ 30 $ |
| 加入水的质量 $ y_2/g $ | $ 5 $ | $ 7 $ | $ 10 $ | $ 15 $ | $ 25 $ |
把上表中的 $ x $ 与 $ y_1 $ 各组对应值作为点的坐标, 在平面直角坐标系中描出这些点, 并用光滑的曲线连接起来, 得到如图所示的 $ y_1 $ 关于 $ x $ 的函数图象.

【类比分析】
(1) 请在该平面直角坐标系中作出 $ y_2 $ 关于 $ x $ 的函数图象.
(2) 观察函数图象, 并结合表中的数据:
① 猜测 $ y_1 $ 与 $ x $ 之间的函数关系, 并求 $ y_1 $ 关于 $ x $ 的函数表达式;
② 求 $ y_2 $ 关于 $ x $ 的函数表达式;
③ 当 $ 0 ＜ x \leq 60 $ 时, $ y_1 $ 随 $ x $ 的增大而______(填 “增大” 或 “减小”), $ y_2 $ 随 $ x $ 的增大而______(填 “增大” 或 “减小”), $ y_2 $ 的图象可以由 $ y_1 $ 的图象向______(填 “上”、 “下”、 “左” 或 “右”) 平移得到.
【学以致用】
(3) 若在容器中加入水的质量 $ y_2 $ (g) 满足 $ 19 \leq y_2 \leq 45 $, 求托盘 $ B $ 与点 $ C $ 的距离 $ x $ (cm) 的取值范围.

(1) 描点连线（图象略，按照表中$y_2$与$x$对应值描点，并用光滑曲线连接）。
(2)① $y_1$与$x$成反比例函数关系，设$y_1=\frac{k}{x}(k\neq0)$，把$x = 30,y_1 = 10$代入得$k = 300$，所以$y_1=\frac{300}{x}$。
② 因为容器质量为$5g$，所以$y_2=\frac{300}{x}-5$。
③ 减小；减小；下
(3) 当$y_2 = 19$时，$\frac{300}{x}-5 = 19$，解得$x = 12.5$；当$y_2 = 45$时，$\frac{300}{x}-5 = 45$，解得$x = 6$。所以$6\leq x\leq12.5$。

答案：
(1) 描点连线（图象略，按照表中$y_2$与$x$对应值描点，并用光滑曲线连接）。
(2)
①$y_1$与$x$成反比例函数关系，设$y_1=\frac{k}{x}(k\neq0)$，把$x = 30,y_1 = 10$代入得$k = 300$，所以$y_1=\frac{300}{x}$。
②因为容器质量为$5g$，所以$y_2=\frac{300}{x}-5$。
③减小；减小；下。
(3)当$y_2 = 19$时，$\frac{300}{x}-5 = 19$，解得$x = 12.5$；当$y_2 = 45$时，$\frac{300}{x}-5 = 45$，解得$x = 6$。所以$6\leq x\leq12.5$。