《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

19. (8分)如图, 正方形ABCD中, 点E是线段CD延长线一点, 连接AE, AB= m, DE= n.
(1)将△ADE绕着点A旋转, 使得AD与AB重合, 点E落在点F处, 连接EF, 用代数式表示△CEF的面积是$\frac{1}{2}(m^2 - n^2)$.
(2)将△ADE绕平面内某一点顺时针旋转, 使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全复合, 画出符合条件的情况 (第(1)小题的情况除外), 并写出旋转中心、旋转角.

答案：
(1) $\frac{1}{2}(m^2 - n^2)$
(2) 情况一：旋转中心为点D，旋转角为90°；
情况二：旋转中心为线段DE中点，旋转角为180°。
（注：以实际图形为准，此处给出两种常见情况，具体需结合图形判断，上述为符合九年级旋转章节内容的规范答案。）

20. (8分)如图, 在△ABC中, AB= BC, 将△ABC绕顶点B逆时针旋转α到△A'BC'的位置, AB与A'C'相交于点D, AC与A'C', BC'分别交于点E, F.
(1)求证: △BCF≌△BA'D.
(2)当∠C= α时, 判断四边形A'BCE的形状, 并说明理由.

答案：
(1)证明：
∵△ABC绕顶点B逆时针旋转α得△A'BC'，
∴△ABC≌△A'BC'，
∴BA=BA'，BC=BC'，∠A=∠A'，∠C=∠C'，∠ABA'=∠CBC'=α。
∵AB=BC，
∴BA=BC，
∴BA'=BC。
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠A'=∠C。
在△BCF和△BA'D中，
∠BCF=∠BA'D（已证∠C=∠A'），
BC=BA'（已证），
∠CBF=∠A'BD（
∵∠CBC'=∠ABA'=α），
∴△BCF≌△BA'D（ASA）。
(2)四边形A'BCE是菱形。理由如下：
∵△ABC≌△A'BC'，
∴∠A'C'B=∠C=α，A'C'=AC。
∵∠C=α，∠CBC'=α，
∴∠CFB=180°-∠C-∠CBF=180°-2α。
∵△BCF≌△BA'D，
∴∠A'DB=∠CFB=180°-2α，
∴∠EDC=∠A'DB=180°-2α（对顶角相等）。
在△EDC中，∠DEC=180°-∠EDC-∠C=180°-(180°-2α)-α=α，
∴∠DEC=∠C=α，
∴BC//A'E（内错角相等，两直线平行）。
∵∠A=∠C=α，∠A'=∠A=α，∠ABA'=α，
∴∠A'BD=α，
∴∠A'DB=180°-∠A'-∠A'BD=180°-2α，
∴∠A'BA+∠BCE=α+α=2α，∠ABC=180°-2α，
∴∠A'BC=∠A'BA+∠ABC=α+(180°-2α)=180°-α，
∴∠A'BC+∠BCE=180°-α+α=180°，
∴A'B//EC（同旁内角互补，两直线平行）。
∵A'B//EC，BC//A'E，
∴四边形A'BCE是平行四边形。
∵AB=BC，AB=A'B，
∴A'B=BC，
∴平行四边形A'BCE是菱形。