《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

19. (8 分) 反比例函数 $ y = \frac{4}{x} $ 的图象如图所示, 一次函数 $ y = kx + b $ ($ k \neq 0 $) 的图象与反比例函数的图象交于 $ A(m, 4) $, $ B(-2, n) $ 两点.
(1) 求一次函数的表达式, 并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象.
(2) 观察图象, 直接写出不等式 $ kx + b ＜ \frac{4}{x} $ 的解集.
(3) 一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ C $, 连接 $ OA $, $ OB $, 求 $ \triangle AOB $ 的面积.

答案：
(1)
把$A(m,4)$代入$y = \frac{4}{x}$，得$4=\frac{4}{m}$，解得$m = 1$，所以$A(1,4)$。
把$B(-2,n)$代入$y = \frac{4}{x}$，得$n=\frac{4}{-2}=-2$，所以$B(-2,-2)$。
把$A(1,4)$，$B(-2,-2)$代入$y=kx + b$，得$\begin{cases}k + b = 4\\-2k + b=-2\end{cases}$
两式相减得$3k = 6$，$k = 2$，把$k = 2$代入$k + b = 4$得$b = 2$。
所以一次函数表达式为$y = 2x+2$。
图象：过点$( - 1,0)$和$(0,2)$画直线。
(2)
由图象可知，不等式$kx + b\lt\frac{4}{x}$的解集为$x\lt - 2$或$0\lt x\lt1$。
(3)
把$y = 0$代入$y = 2x + 2$，得$0 = 2x+2$，解得$x=-1$，所以$C(-1,0)$。
$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×1×4+\frac{1}{2}×1×2 = 3$。
综上，答案依次为：
(1)$y = 2x + 2$，图象略；
(2)$x\lt - 2$或$0\lt x\lt1$；
(3)$3$。

20. (8 分) 如图, 取一根长 $ 1 \, m $ 的质地均匀木杆, 用细绳绑在木杆的中点 $ O $ 处并将其吊起来, 在中点的左侧距离中点 $ 30 \, cm $ 处挂一个重 $ 9.8 \, N $ 的物体, 在中点 $ O $ 右侧用一个弹簧测力计向下拉, 使木杆保持平衡, 改变弹簧测力计与中点 $ O $ 的距离 $ L $ (单位: cm), 看弹簧测力计的示数 $ F $ (单位: N, 精确到 $ 0.1 \, N $) 有什么变化. 某同学在做此 “数学活动” 时, 得到下表的数据:
| $ L/cm $ | $ 5 $ | $ 10 $ | $ 15 $ | $ 20 $ | $ 25 $ | $ 30 $ | $ 35 $ | $ 40 $ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $ F/N $ | $ 58.8 $ | $ 60.2 $ | $ 19.6 $ | $ 14.7 $ | $ 11.8 $ | $ 9.8 $ | $ 8.4 $ | $ 7.4 $ |
结果老师发现其中有一个数据明显有错误.
(1) 你认为当 $ L = $______10cm 时所对应的 $ F $ 数据是明显错误的.
(2) 在已学过的函数中选择合适的模型, 求出 $ F $ 与 $ L $ 的函数关系式.
(3) 若弹簧测力计的最大量程是 $ 60 \, N $, 求 $ L $ 的取值范围.

答案：
(1) 10
(2) 根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，可得 $ F × L = 9.8 × 30 $，即 $ F = \frac{294}{L} $（$ L ＞ 0 $）。
(3) 由题意 $ F \leq 60 \, N $，则 $ \frac{294}{L} \leq 60 $，解得 $ L \geq \frac{294}{60} = 4.9 \, cm $，故 $ L $ 的取值范围是 $ L \geq 4.9 \, cm $。