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23. (12分) 【综合与实践】
某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系,通过查阅资料获得以下信息：
材料一：由于司机的反应和惯性的作用,从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离,这段距离称为制动非安全距离.从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离,这段距离总共需要的反应时间为0.6s.从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离.
材料二：某公司设计了一款新型汽车,现在对它的制动性能(车速不超过150km/h)进行测试,测得数据如下表：
| 车速 $ x $/(km/h) | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 105 | 120 | 150 |
| 制动距离 $ y $/m | 0 | 7.8 | 13.05 | 19.2 | 34.2 | 43.05 | 52.8 | 75 |
【探究任务】
(1) 已知该款新型汽车的制动距离 $ y $(m) 和车速 $ x $(km/h) 之间存在已学过的某种函数关系,请你根据上表提供的数据,在坐标系中描出点 $ (x, y) $,顺次连接各点,结合图象求出这个函数的解析式并写出自变量 $ x $ 的取值范围.(参考数据：$ 12^{2} = 144 $,$ 15^{2} = 225 $,$ 45^{2} = 2025 $,$ 105^{2} = 11025 $)
(2) 若在该款新型汽车的某次测试中,通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为28.8m,请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度.
(3) 若某司机驾驶这种新型汽车以60km/h的速度在单行道上行驶,发现前方25m处有一辆大货车停在公路上挡住去路,司机紧急刹车.请问是否有碰撞危险？请说明理由.
某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系,通过查阅资料获得以下信息：
材料一：由于司机的反应和惯性的作用,从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离,这段距离称为制动非安全距离.从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离,这段距离总共需要的反应时间为0.6s.从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离.
材料二：某公司设计了一款新型汽车,现在对它的制动性能(车速不超过150km/h)进行测试,测得数据如下表：
| 车速 $ x $/(km/h) | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 105 | 120 | 150 |
| 制动距离 $ y $/m | 0 | 7.8 | 13.05 | 19.2 | 34.2 | 43.05 | 52.8 | 75 |
【探究任务】
(1) 已知该款新型汽车的制动距离 $ y $(m) 和车速 $ x $(km/h) 之间存在已学过的某种函数关系,请你根据上表提供的数据,在坐标系中描出点 $ (x, y) $,顺次连接各点,结合图象求出这个函数的解析式并写出自变量 $ x $ 的取值范围.(参考数据：$ 12^{2} = 144 $,$ 15^{2} = 225 $,$ 45^{2} = 2025 $,$ 105^{2} = 11025 $)
(2) 若在该款新型汽车的某次测试中,通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为28.8m,请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度.
(3) 若某司机驾驶这种新型汽车以60km/h的速度在单行道上行驶,发现前方25m处有一辆大货车停在公路上挡住去路,司机紧急刹车.请问是否有碰撞危险？请说明理由.
答案：
(1) 设制动距离 $ y $ 与车速 $ x $ 的函数关系为 $ y = ax^2 + bx $（$ c=0 $，因 $ x=0 $ 时 $ y=0 $）。
将 $ (30, 7.8) $、$ (60, 19.2) $ 代入得：
$\begin{cases}900a + 30b = 7.8 \\3600a + 60b = 19.2\end{cases}$
解得 $ a = 0.002 $，$ b = 0.2 $。
验证其他点均满足 $ y = 0.002x^2 + 0.2x $。
自变量取值范围：$ 0 \leq x \leq 150 $。
(2) 当 $ y = 28.8 $ 时，解方程 $ 0.002x^2 + 0.2x = 28.8 $：
整理得 $ x^2 + 100x - 14400 = 0 $，
解得 $ x = 80 $（负值舍去）。
估计车速为 $ 80 \, km/h $。
(3) 有碰撞危险。
理由：反应距离：$ 60 \, km/h = \frac{50}{3} \, m/s $，
反应距离 $ = \frac{50}{3} × 0.6 = 10 \, m $。
制动距离：当 $ x = 60 $ 时，$ y = 0.002 × 60^2 + 0.2 × 60 = 19.2 \, m $。
总距离 $ = 10 + 19.2 = 29.2 \, m ＞ 25 \, m $，故有碰撞危险。
(1) 设制动距离 $ y $ 与车速 $ x $ 的函数关系为 $ y = ax^2 + bx $（$ c=0 $，因 $ x=0 $ 时 $ y=0 $）。
将 $ (30, 7.8) $、$ (60, 19.2) $ 代入得：
$\begin{cases}900a + 30b = 7.8 \\3600a + 60b = 19.2\end{cases}$
解得 $ a = 0.002 $，$ b = 0.2 $。
验证其他点均满足 $ y = 0.002x^2 + 0.2x $。
自变量取值范围：$ 0 \leq x \leq 150 $。
(2) 当 $ y = 28.8 $ 时，解方程 $ 0.002x^2 + 0.2x = 28.8 $：
整理得 $ x^2 + 100x - 14400 = 0 $，
解得 $ x = 80 $（负值舍去）。
估计车速为 $ 80 \, km/h $。
(3) 有碰撞危险。
理由：反应距离：$ 60 \, km/h = \frac{50}{3} \, m/s $，
反应距离 $ = \frac{50}{3} × 0.6 = 10 \, m $。
制动距离：当 $ x = 60 $ 时，$ y = 0.002 × 60^2 + 0.2 × 60 = 19.2 \, m $。
总距离 $ = 10 + 19.2 = 29.2 \, m ＞ 25 \, m $，故有碰撞危险。
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