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23. (12 分) 在学习一元二次方程时,我们把 $b^{2}-4ac$ 叫做一元二次方程根的判别式,用 $\Delta$ 表示,即 $\Delta = b^{2}-4ac$. 如果 $\Delta$ 的值是一个完全平方数时,一元二次方程的根不一定都为整数,但是如果一元二次方程的根都为整数,$\Delta$ 的值一定是一个完全平方数.
例如：方程 $2x^{2}-x - 1 = 0$,$\Delta = b^{2}-4ac = (-1)^{2}-4×2×(-1)= 9 = 3^{2}$,$\Delta$ 的值是一个完全平方数,但是该方程的根为 $x_{1}= 1$,$x_{2}= -\frac{1}{2}$ 不都为整数. 方程 $x^{2}-6x + 8 = 0$ 的两根 $x_{1}= 2$,$x_{2}= 4$ 都为整数,此时 $\Delta = b^{2}-4ac = (-6)^{2}-4×1×8 = 4 = 2^{2}$,$\Delta$ 的值是一个完全平方数. 我们定义两根都为整数的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 称为“全整根方程”,代数式 $\frac{4ac - b^{2}}{4a}$ 的值为该“全整根方程”的“关爱码”,用 $Q(a,b,c)$ 表示,即 $Q(a,b,c)= \frac{4ac - b^{2}}{4a}$. 若另一关于 $x$ 的一元二次方程 $px^{2}+qx + r = 0(p\neq0)$ 也为“全整根方程”,其“关爱码”记为 $Q(p,q,r)$,当满足 $Q(a,b,c)-Q(p,q,r)= c$ 时,则称一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 是一元二次方程 $px^{2}+qx + r = 0(p\neq0)$ 的“全整根伴侣方程”.
(1) 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(m + 1)x + m = 0$ 是一个“全整根方程”.
①当 $m = 2$ 时,该全整根方程的“关爱码”是______.
②若该全整根方程的“关爱码”是 $-1$,则 $m$ 的值为______.
(2) 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(2m - 3)x + m^{2}-4m - 5 = 0$($m$ 为整数,且 $4 ＜ m ＜ 15$)是“全整根方程”,请求出该方程的“关爱码”.
(3) 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(1 - m)x + m + 4 = 0$ 是 $x^{2}+(n - 1)x - n = 0$($m$,$n$ 均为正整数)的“全整根伴侣方程”,求 $m - n$ 的值.(直接写出答案)
(1)①
②
(2)
(3)
例如：方程 $2x^{2}-x - 1 = 0$,$\Delta = b^{2}-4ac = (-1)^{2}-4×2×(-1)= 9 = 3^{2}$,$\Delta$ 的值是一个完全平方数,但是该方程的根为 $x_{1}= 1$,$x_{2}= -\frac{1}{2}$ 不都为整数. 方程 $x^{2}-6x + 8 = 0$ 的两根 $x_{1}= 2$,$x_{2}= 4$ 都为整数,此时 $\Delta = b^{2}-4ac = (-6)^{2}-4×1×8 = 4 = 2^{2}$,$\Delta$ 的值是一个完全平方数. 我们定义两根都为整数的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 称为“全整根方程”,代数式 $\frac{4ac - b^{2}}{4a}$ 的值为该“全整根方程”的“关爱码”,用 $Q(a,b,c)$ 表示,即 $Q(a,b,c)= \frac{4ac - b^{2}}{4a}$. 若另一关于 $x$ 的一元二次方程 $px^{2}+qx + r = 0(p\neq0)$ 也为“全整根方程”,其“关爱码”记为 $Q(p,q,r)$,当满足 $Q(a,b,c)-Q(p,q,r)= c$ 时,则称一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 是一元二次方程 $px^{2}+qx + r = 0(p\neq0)$ 的“全整根伴侣方程”.
(1) 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(m + 1)x + m = 0$ 是一个“全整根方程”.
①当 $m = 2$ 时,该全整根方程的“关爱码”是______.
②若该全整根方程的“关爱码”是 $-1$,则 $m$ 的值为______.
(2) 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(2m - 3)x + m^{2}-4m - 5 = 0$($m$ 为整数,且 $4 ＜ m ＜ 15$)是“全整根方程”,请求出该方程的“关爱码”.
(3) 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(1 - m)x + m + 4 = 0$ 是 $x^{2}+(n - 1)x - n = 0$($m$,$n$ 均为正整数)的“全整根伴侣方程”,求 $m - n$ 的值.(直接写出答案)
(1)①
$-\frac{1}{4}$
②
$3$或$-1$
(2)
$-\frac{49}{4}$或$-\frac{81}{4}$
(3)
$2$
答案：
(1)①当$m=2$时，方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$，$a=1$，$b=-3$，$c=2$。
$Q=\frac{4ac - b^2}{4a}=\frac{4×1×2 - (-3)^2}{4×1}=\frac{8 - 9}{4}=-\frac{1}{4}$。
②由$Q=-1$，方程为$x^2 - (m+1)x + m = 0$，$a=1$，$b=-(m+1)$，$c=m$。
$\frac{4m - (m+1)^2}{4}=-1\Rightarrow4m - (m^2 + 2m + 1)=-4\Rightarrow m^2 - 2m - 3=0$，解得$m=3$或$m=-1$。
(2)方程$x^2 - (2m - 3)x + m^2 - 4m - 5 = 0$，$\Delta=4m + 29$为完全平方数。
$4 ＜ m ＜ 15$，$m=5$时，$\Delta=49$，方程$x^2 - 7x = 0$，$Q=\frac{0 - 49}{4}=-\frac{49}{4}$；
$m=13$时，$\Delta=81$，方程$x^2 - 23x + 112 = 0$，$Q=\frac{448 - 529}{4}=-\frac{81}{4}$。
(3)方程$A$：$x^2 + (1 - m)x + m + 4 = 0$，方程$B$：$x^2 + (n - 1)x - n = 0$。
$Q(A)-Q(B)=m + 4\Rightarrow\frac{-m^2 + 6m + 15}{4}+\frac{(n + 1)^2}{4}=m + 4\Rightarrow(m - 1)^2=(n + 1)^2$。
$m=n + 2$，方程$A$两根为整数，$(x_1 - 1)(x_2 - 1)=6$，解得$m - n=2$。
答案
(1)①$-\frac{1}{4}$；②$3$或$-1$；
(2)$-\frac{49}{4}$或$-\frac{81}{4}$；
(3)$2$。
(1)①当$m=2$时，方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$，$a=1$，$b=-3$，$c=2$。
$Q=\frac{4ac - b^2}{4a}=\frac{4×1×2 - (-3)^2}{4×1}=\frac{8 - 9}{4}=-\frac{1}{4}$。
②由$Q=-1$，方程为$x^2 - (m+1)x + m = 0$，$a=1$，$b=-(m+1)$，$c=m$。
$\frac{4m - (m+1)^2}{4}=-1\Rightarrow4m - (m^2 + 2m + 1)=-4\Rightarrow m^2 - 2m - 3=0$，解得$m=3$或$m=-1$。
(2)方程$x^2 - (2m - 3)x + m^2 - 4m - 5 = 0$，$\Delta=4m + 29$为完全平方数。
$4 ＜ m ＜ 15$，$m=5$时，$\Delta=49$，方程$x^2 - 7x = 0$，$Q=\frac{0 - 49}{4}=-\frac{49}{4}$；
$m=13$时，$\Delta=81$，方程$x^2 - 23x + 112 = 0$，$Q=\frac{448 - 529}{4}=-\frac{81}{4}$。
(3)方程$A$：$x^2 + (1 - m)x + m + 4 = 0$，方程$B$：$x^2 + (n - 1)x - n = 0$。
$Q(A)-Q(B)=m + 4\Rightarrow\frac{-m^2 + 6m + 15}{4}+\frac{(n + 1)^2}{4}=m + 4\Rightarrow(m - 1)^2=(n + 1)^2$。
$m=n + 2$，方程$A$两根为整数，$(x_1 - 1)(x_2 - 1)=6$，解得$m - n=2$。
答案
(1)①$-\frac{1}{4}$；②$3$或$-1$；
(2)$-\frac{49}{4}$或$-\frac{81}{4}$；
(3)$2$。
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