《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

21. (8分)如图, 在△ABC中, AD是BC边上的中线, △A'BD与△ACD关于点D成中心对称.
(1)直接写出图中所有相等的线段.
(2)若AB= 5, AC= 3, 求线段AD的取值范围.

答案：
(1)
因为$AD$是$BC$边上的中线，所以$BD = DC$。
由于$\triangle A'BD$与$\triangle ACD$关于点$D$成中心对称，所以$A'D = AD$，$A'B = AC$。
故相等的线段为：$BD = DC$，$A'D = AD$，$A'B = AC$。
(2)
因为$\triangle A'BD$与$\triangle ACD$关于点$D$成中心对称，所以$A'D = AD$，$A'B = AC$。
在$\triangle ABA'$中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边。
即$AB - A'B\lt AA'\lt AB + A'B$，已知$AB = 5$，$A'B = AC = 3$，所以$5 - 3\lt AA'\lt5 + 3$，即$2\lt AA'\lt8$。
又因为$AD = A'D$，且$AA' = AD + A'D = 2AD$，所以$2\lt2AD\lt8$，解得$1\lt AD\lt4$。
综上，答案为：
(1)相等的线段为$BD = DC$，$A'D = AD$，$A'B = AC$；
(2)$1\lt AD\lt4$。

22. (12分)(1)操作发现:
如图1, 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中, △ABC的三个顶点均在格点上. 现将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°, 点B的对应点为B', 点C的对应点为C', 连接BB', 则∠AB'B= 45°.
(2)解决问题:
如图2, 在等边△ABC内有一点P, 且PA= 2, PB= √{3}, PC= 1, 如果将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△ABP', 求∠BPC的度数和PP'的长.
∠BPC的度数为150°，PP'的长为√3。

答案：
(1)
根据旋转性质可知$AB = AB^{\prime}$，$\angle BAB^{\prime}=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABB^{\prime}$中，$\angle AB^{\prime}B = 45^{\circ}$。
(2)
因为$\triangle BPC$绕点$B$逆时针旋转$60^{\circ}$得到$\triangle ABP^{\prime}$，所以$\triangle BPC\cong\triangle ABP^{\prime}$，则$BP = BP^{\prime}$，$P^{\prime}A=PC = 1$，$\angle PBP^{\prime}=60^{\circ}$。
所以$\triangle BPP^{\prime}$是等边三角形，则$PP^{\prime}=BP=\sqrt{3}$，$\angle BPP^{\prime}=60^{\circ}$。
在$\triangle APP^{\prime}$中，$PA = 2$，$P^{\prime}A = 1$，$PP^{\prime}=\sqrt{3}$，因为$1^{2}+(\sqrt{3})^{2}=4 = 2^{2}$，满足勾股定理，所以$\angle AP^{\prime}P = 90^{\circ}$。
所以$\angle BPC=\angle AP^{\prime}B=\angle AP^{\prime}P+\angle BP^{\prime}P=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}$。
综上，
(1)中$\angle AB^{\prime}B = 45^{\circ}$；
(2)中$\angle BPC = 150^{\circ}$，$PP^{\prime}=\sqrt{3}$。