《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

22. (12 分) 某商店经销甲、乙两种商品,现有如下信息：
信息 1：甲、乙两种商品的进货单价之和是 3 元；
信息 2：甲商品零售单价比进货单价多 1 元,乙商品零售单价比进货单价的 2 倍少 1 元；
信息 3：按零售单价购买甲商品 3 件和乙商品 2 件,共付了 12 元.
请根据以上信息,解答下列问题：
(1) 求甲、乙两种商品的零售单价.
(2) 该商店平均每天卖出甲、乙两种商品各 500 件,经调查发现,甲种商品零售单价每降 $0.1$ 元,甲种商品每天可多销售 100 件,商店决定把甲种商品的零售单价下降 $m(m＞0)$ 元. 在不考虑其他因素的条件下,当 $m$ 为多少时,商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为 $1000$ 元？

答案：
(1) 设甲商品的进货单价为 $x$ 元，乙商品的进货单价为 $y$ 元。
根据信息1，有 $x + y = 3$。
甲商品的零售单价为 $x + 1$ 元，乙商品的零售单价为 $2y - 1$ 元。
根据信息3，有 $3(x + 1) + 2(2y - 1) = 12$。
解这个方程组：
$\begin{cases}x + y = 3 \\3(x + 1) + 2(2y - 1) = 12\end{cases}$
化简第二个方程：
$3x + 3 + 4y - 2 = 12$
$3x + 4y = 11$
将第一个方程 $x + y = 3$ 代入，解得：
$3x + 4(3 - x) = 11$
$3x + 12 - 4x = 11$
$-x = -1$
$x = 1$
$y = 3 - x = 2$
甲商品的零售单价为 $x + 1 = 2$ 元，乙商品的零售单价为 $2y - 1 = 3$ 元。
(2) 甲商品原来的零售单价为 2 元，进货单价为 1 元，因此每件利润为 $2 - 1 = 1$ 元。
乙商品零售单价为 3 元，进货单价为 2 元，因此每件利润为 $3 - 2 = 1$ 元。
甲商品降价 $m$ 元后，新的零售单价为 $2 - m$ 元，每天销售量为 $500 + \frac{m}{0.1} × 100 = 500 + 1000m$ 件。
乙商品每天销售量仍为 500 件。
总利润为：
$(2 - m - 1)(500 + 1000m) + 1 × 500 = 1000$
$(1 - m)(500 + 1000m) + 500 = 1000$
$500 + 1000m - 500m - 1000m^2 + 500 = 1000$
$-1000m^2 + 500m = 0$
$1000m^2 - 500m = 0$
$m^2 - 0.5m = 0$
$m(m - 0.5) = 0$
$m = 0 \quad 或 \quad m = 0.5$
由于 $m ＞ 0$，所以 $m = 0.5$。