《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

21. (8分) 如图是某地区一条公路隧道入口在平面直角坐标系中的示意图,点 $ A $ 和 $ A_{1} $、点 $ B $ 和 $ B_{1} $ 分别关于 $ y $ 轴对称.隧道拱部分 $ BCB_{1} $ 为一段抛物线,最高点 $ C $ 离路面 $ AA_{1} $ 的距离为8m,点 $ B $ 离路面 $ AA_{1} $ 的距离为6m,隧道宽 $ AA_{1} $ 为16m.
(1) 求隧道拱部分 $ BCB_{1} $ 对应的函数表达式.
(2) 现有一大型货车,装载某大型设备后,宽为4m,装载设备的顶部离路面均为7m,问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由.

答案：
(1) 由题意，抛物线顶点为 $ C(0,8) $，设其表达式为 $ y = ax^2 + 8 $。
∵ 点 $ B_1(8,6) $ 在抛物线上，
∴ 将 $ x=8 $，$ y=6 $ 代入得：$ 6 = a \cdot 8^2 + 8 $，
即 $ 6 = 64a + 8 $，解得 $ 64a = -2 $，$ a = -\frac{1}{32} $。
∴ 隧道拱部分对应的函数表达式为 $ y = -\frac{1}{32}x^2 + 8 $。
(2) 货车宽4m，沿中心线行驶时，左右边缘横坐标为 $ \pm 2 $。
当 $ x=2 $ 时，$ y = -\frac{1}{32} × 2^2 + 8 = -\frac{4}{32} + 8 = 7.875 $。
∵ $ 7.875 ＞ 7 $，
∴ 能安全通过。

22. (12分) 如图,抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 交 $ x $ 轴于 $ A $,$ B $ 两点,交 $ y $ 轴于点 $ C $.直线 $ y = x - 3 $ 经过点 $ B $,$ C $.
(1) 求抛物线的解析式.
(2) $ P $ 是直线 $ BC $ 下方的抛物线上一动点(不与点 $ B $,$ C $ 重合),过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的垂线,垂足为 $ F $,交直线 $ BC $ 于点 $ D $,作 $ PE \perp BC $ 于点 $ E $.设点 $ P $ 的横坐标为 $ m $,连接 $ PB $,线段 $ PD $ 把 $ \triangle PEB $ 分成两个三角形,若这两个三角形的面积比为 $ 4:5 $,求 $ m $ 的值.

答案：
(1) 对于直线$y=x-3$，令$x=0$，得$y=-3$，则$C(0,-3)$；令$y=0$，得$x=3$，则$B(3,0)$。
将$B(3,0)$，$C(0,-3)$代入抛物线$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} 9+3b+c=0 \\ c=-3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} b=-2 \\ c=-3 \end{cases}$。
故抛物线解析式为$y=x^2-2x-3$。
(2) 点$P(m,m^2-2m-3)$，$D(m,m-3)$（$0＜m＜3$）。
$PD=(m-3)-(m^2-2m-3)=-m^2+3m$。
直线$BC$：$y=x-3$，$PE\perp BC$，$PE=\frac{|-m^2+3m|}{\sqrt{2}}=\frac{-m^2+3m}{\sqrt{2}}$（$0＜m＜3$）。
$E$为$PE$与$BC$交点，联立$y=-x+m^2-m-3$与$y=x-3$，得$E\left(\frac{m(m-1)}{2},\frac{m(m-1)}{2}-3\right)$。
$ED$与$DB$在直线$BC$上，横坐标差比为$\frac{ED}{DB}=\frac{m}{2}$，面积比等于$ED:DB$。
① $\frac{ED}{DB}=\frac{4}{5}$时，$\frac{m}{2}=\frac{4}{5}$，$m=\frac{8}{5}$；
② $\frac{ED}{DB}=\frac{5}{4}$时，$\frac{m}{2}=\frac{5}{4}$，$m=\frac{5}{2}$。
综上，$m=\frac{8}{5}$或$\frac{5}{2}$。
答案
(1) $y=x^2-2x-3$；
(2) $m=\frac{8}{5}$或$\frac{5}{2}$。