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21. (8 分) 某工厂对某种新型材料进行加工, 首先要将其加温, 使这种材料保持在一定温度范围内方可加工, 如图是在这种材料的加工过程中, 该材料的温度 $ y $ ($ ° C $) 随时间 $ x $ (min) 变化的函数图象. 已知该材料, 初始温度为 $ 15 \, ° C $, 在温度上升阶段, $ y $ 与 $ x $ 成一次函数关系, 在第 $ 5 $ min 温度达到 $ 60 \, ° C $ 后停止加温, 在温度下降阶段, $ y $ 与 $ x $ 成反比例函数关系.
(1) 写出该材料温度上升和下降阶段, $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式:
① 上升阶段: 当 $ 0 \leq x \leq 5 $ 时, $ y = $
② 下降阶段: 当 $ x ＞ 5 $ 时, $ y = $
(2) 根据工艺要求, 当材料的温度不低于 $ 30 \, ° C $, 可以进行产品加工, 请问在图中所示的温度变化过程中, 可以进行加工多长时间.
(1) 写出该材料温度上升和下降阶段, $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式:
① 上升阶段: 当 $ 0 \leq x \leq 5 $ 时, $ y = $
$9x + 15$
;② 下降阶段: 当 $ x ＞ 5 $ 时, $ y = $
$\frac{300}{x}$
.(2) 根据工艺要求, 当材料的温度不低于 $ 30 \, ° C $, 可以进行产品加工, 请问在图中所示的温度变化过程中, 可以进行加工多长时间.
$\frac{25}{3}$ min
答案：
(1)
① 设上升阶段函数关系式为 $y = kx + b$，把 $(0,15)$，$(5,60)$ 代入得：
$\begin{cases}b = 15\\5k + b = 60\end{cases}$
将 $b = 15$ 代入 $5k + b = 60$，得 $5k+15 = 60$，$5k = 45$，解得 $k = 9$。
所以上升阶段函数关系式为 $y = 9x + 15$。
② 设下降阶段函数关系式为 $y=\frac{m}{x}$，把 $(5,60)$ 代入得 $60=\frac{m}{5}$，解得 $m = 300$。
所以下降阶段函数关系式为 $y=\frac{300}{x}$。
(2)
当 $y = 30$ 时，在上升阶段：$30=9x + 15$，$9x = 15$，解得 $x=\frac{5}{3}$。
在下降阶段：$30=\frac{300}{x}$，解得 $x = 10$。
则可加工时间为 $10-\frac{5}{3}=\frac{25}{3}$ (min)。
综上，答案依次为：
(1)①$9x + 15$；②$\frac{300}{x}$；
(2)$\frac{25}{3}$ min。
(1)
① 设上升阶段函数关系式为 $y = kx + b$，把 $(0,15)$，$(5,60)$ 代入得：
$\begin{cases}b = 15\\5k + b = 60\end{cases}$
将 $b = 15$ 代入 $5k + b = 60$，得 $5k+15 = 60$，$5k = 45$，解得 $k = 9$。
所以上升阶段函数关系式为 $y = 9x + 15$。
② 设下降阶段函数关系式为 $y=\frac{m}{x}$，把 $(5,60)$ 代入得 $60=\frac{m}{5}$，解得 $m = 300$。
所以下降阶段函数关系式为 $y=\frac{300}{x}$。
(2)
当 $y = 30$ 时，在上升阶段：$30=9x + 15$，$9x = 15$，解得 $x=\frac{5}{3}$。
在下降阶段：$30=\frac{300}{x}$，解得 $x = 10$。
则可加工时间为 $10-\frac{5}{3}=\frac{25}{3}$ (min)。
综上，答案依次为：
(1)①$9x + 15$；②$\frac{300}{x}$；
(2)$\frac{25}{3}$ min。
22. (12 分) 在并联电路中, 电源电压为 $ U_{总} = 6 \, V $, 小李根据 “并联电路分流不分压” 的原理知道: $ I_{总} = I_1 + I_2 \left( I_1 = \frac{6}{R_1}, I_2 = \frac{6}{R} \right) $, 已知 $ R_1 $ 为定值电阻, 当 $ R $ 变化时, 干路电流 $ I_{总} $ 也会发生变化, 且干路电流 $ I_{总} $ 与 $ R $ 之间满足如下关系: $ I_{总} = 1 + \frac{6}{R} $.
(1) 定值电阻 $ R_1 $ 的阻值为
(2) 小李根据学习函数的经验, 参照研究函数的过程与方法, 对比反比例函数 $ I_2 = \frac{6}{R} $ 来探究函数 $ I_{总} = 1 + \frac{6}{R} $ 的图象与性质.
① 列表: 如下表列出 $ I_{总} $ 与 $ R $ 的几组对应值, 请写出 $ m $, $ n $ 的值: $ m = $
| $ R $ | …$ $ | $ 3 $ | $ 4 $ | $ 5 $ | $ 6 $ | …$ $ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $ I_2 = \frac{6}{R} $ | …$ $ | $ 2 $ | $ 1.5 $ | $ 1.2 $ | $ 1 $ | …$ $ |
| $ I_{总} = 1 + \frac{6}{R} $ | …$ $ | $ 3 $ | $ m $ | $ 2.2 $ | $ n $ | …$ $ |
② 描点, 连线: 在平面直角坐标系中, 以①给出的 $ R $ 的取值为横坐标, 以 $ I_{总} $ 相对应的值为纵坐标, 描出相应的点, 并将各点用光滑曲线顺次连接起来.
(3) 观察图象并分析表格, 回答下列问题:
① $ I_{总} $ 随 $ R $ 的增大而
② 函数 $ I_{总} = 1 + \frac{6}{R} $ 的图象是由 $ I_2 = \frac{6}{R} $ 的图象向
(1) 定值电阻 $ R_1 $ 的阻值为
6
$ \Omega $.(2) 小李根据学习函数的经验, 参照研究函数的过程与方法, 对比反比例函数 $ I_2 = \frac{6}{R} $ 来探究函数 $ I_{总} = 1 + \frac{6}{R} $ 的图象与性质.
① 列表: 如下表列出 $ I_{总} $ 与 $ R $ 的几组对应值, 请写出 $ m $, $ n $ 的值: $ m = $
2.5
, $ n = $2
;| $ R $ | …$ $ | $ 3 $ | $ 4 $ | $ 5 $ | $ 6 $ | …$ $ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $ I_2 = \frac{6}{R} $ | …$ $ | $ 2 $ | $ 1.5 $ | $ 1.2 $ | $ 1 $ | …$ $ |
| $ I_{总} = 1 + \frac{6}{R} $ | …$ $ | $ 3 $ | $ m $ | $ 2.2 $ | $ n $ | …$ $ |
② 描点, 连线: 在平面直角坐标系中, 以①给出的 $ R $ 的取值为横坐标, 以 $ I_{总} $ 相对应的值为纵坐标, 描出相应的点, 并将各点用光滑曲线顺次连接起来.
(3) 观察图象并分析表格, 回答下列问题:
① $ I_{总} $ 随 $ R $ 的增大而
减小
(填 “增大” 或 “减小”);② 函数 $ I_{总} = 1 + \frac{6}{R} $ 的图象是由 $ I_2 = \frac{6}{R} $ 的图象向
上
平移1
个单位长度而得到的.
答案：
(1) 6
(2) ① 2.5; 2
② （此处需根据给定坐标描点连线，因无法直接画图，按题目要求略去具体画图步骤）
(3) ① 减小
② 上; 1
(1) 6
(2) ① 2.5; 2
② （此处需根据给定坐标描点连线，因无法直接画图，按题目要求略去具体画图步骤）
(3) ① 减小
② 上; 1
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