《2025年新课程能力培养九年级数学上册人教版》

17. (8 分) 小明设计了一个魔术盒,当任意实数对 $(a,b)$ 进入其中时,会得到一个新的实数 $a^{2}+2b - 3$. 例如把 $(2,-5)$ 放入其中,就会得到 $2^{2}+2×(-5)-3= -9$. 现将实数对 $(m,-3m)$ 放入其中,得到实数 $-12$,求 $m$ 的值.

答案： 将实数对$(m, -3m)$代入$a^{2} + 2b - 3$，得：
$m^{2} + 2(-3m) - 3 = -12$
化简得：
$m^{2} - 6m - 3 = -12$
移项整理：
$m^{2} - 6m + 9 = 0$
因式分解：
$(m - 3)^{2} = 0$
解得：
$m_{1} = m_{2} = 3$
故$m$的值为$3$。

18. (9 分) 嘉嘉与淇淇两位同学解方程 $3(x - 3)= (x - 3)^{2}$ 的过程如下：
|嘉嘉：|淇淇：|
|两边同除以 $(x - 3)$,|移项,得 $3(x - 3)-(x - 3)^{2}= 0$,|
|得 $3 = x - 3$,|提取公因式,得 $(x - 3)(3 - x - 3)= 0$.|
|则 $x = 6$.|则 $x - 3 = 0$ 或 $3 - x - 3 = 0$,|
| |解得 $x_{1}= 3$,$x_{2}= 0$.|
(1) 嘉嘉的解法不正确,淇淇的解法______不正确.(两空均填“正确”或“不正确”)
(2) 请你选择合适的方法尝试解一元二次方程 $4x(2x + 1)= 3(2x + 1)$.

答案：
(1) 嘉嘉的解法不正确，淇淇的解法不正确。
(2)
由方程 $4x(2x + 1) = 3(2x + 1)$，
移项，得$4x(2x + 1) - 3(2x + 1) = 0$，
提取公因式，得$(2x + 1)(4x - 3) = 0$，
则 $2x + 1 = 0$ 或 $4x - 3 = 0$，
解得$x_{1} = -\frac{1}{2}$，$x_{2} = \frac{3}{4}$。

19. (8 分) 为了满足人们对于精神文明的需求,某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入. 已知 2022 年投入资金 2 万元,2024 年投入资金 $2.88$ 万元,假定每年投入资金的增长率相同.
(1) 求该社区 2022 年至 2024 年投入资金的增长率.
(2) 如果投入资金年增长率保持不变,求该社区在 2025 年投入资金多少万元.

答案：
(1) 设增长率为 $x$，则 2023 年投入资金为 $2(1+x)$ 万元，2024 年投入资金为 $2(1+x)^{2}$ 万元。
根据题意，有方程：
$2(1+x)^{2} = 2.88$，
$(1+x)^{2} = 1.44$，
解得 $x_{1} = 0.2 = 20\%$，$x_{2} = -2.2$（不符合题意，舍去）。
答：该社区 2022 年至 2024 年投入资金的增长率为 $20\%$。
(2) 根据第一问结果得知增长率为 $20\%$，则 2025 年投入资金为：
$2.88 × (1+0.2) = 3.456 (万元]$
答：该社区在 2025 年投入资金为 $3.456$ 万元。