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22. (12 分) 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,点 D 在,= ,点 E 在 BA 的延长线上,∠CEA = ∠CAD.
(1) 如图 1,求证：CE 是⊙O 的切线.
(2) 如图 2,若∠CEA = 2∠DAB,OA = 8,求的长.
(1) 如图 1,求证：CE 是⊙O 的切线.
(2) 如图 2,若∠CEA = 2∠DAB,OA = 8,求的长.
答案：
(1) 证明见解析；
(2) 2π。
(1) 证明见解析；
(2) 2π。
23. (12 分) 阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文,请认真阅读并完成相应的学习任务.
《对角线互相垂直的四边形的性质探究》
在平行四边形一章中,我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质,那么对于对角线互相垂直的四边形,它有哪些特殊的性质呢？容易得知：
对角线互相垂直的四边形,两组对边的平方和相等,证明过程如下：
如图 1,在四边形 ABCD 中,对角线 AC⊥BD,垂足为 O.
求证：$AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2.$
证明：∵AC⊥BD 于点 O,
∴$AD^2 + BC^2 = (OA^2 + OD^2) + (OB^2 + OC^2) = (OA^2 + OB^2) + (OD^2 + OC^2) = AB^2 + CD^2. ($依据 1)
若对角线互相垂直的四边形内接于圆,它还有什么特殊性质呢,通过探究,我得出如下结论：对角线互相垂直的圆内接四边形,每组对边的平方和等于它的外接圆半径平方的 4 倍,证明过程如下 (不完整)：
如图 2,已知⊙O 的半径为 R,四边形 ABCD 内接于⊙O,且 AC⊥BD.
求证：$AB^2 + CD^2 = 4R^2.$
证明：过点 B 作直径 BE,分别连接 OA,OE,OD,OC,AE.
∵BE 是⊙O 的直径,∴∠EAB = 90°, (依据 2)
∴∠2 + ∠E = 90°.
∵AC⊥BD,
∴∠1 + ∠ACB = 90°.
学习任务：
(1) 小宇同学的论文中,“依据 1”和“依据 2”分别是：
依据 1：
依据 2：
(2) 请完成图 2 的剩余证明过程.
(3) 如图 3,已知四边形 ABCD 内接于⊙O,E 为上一点,∠ACB + ∠E = 90°,若⊙O 的直径为 8,AB + CD = 10 (AB ＜ CD),请直接写出 AB 的长度.
《对角线互相垂直的四边形的性质探究》
在平行四边形一章中,我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质,那么对于对角线互相垂直的四边形,它有哪些特殊的性质呢？容易得知：
对角线互相垂直的四边形,两组对边的平方和相等,证明过程如下：
如图 1,在四边形 ABCD 中,对角线 AC⊥BD,垂足为 O.
求证：$AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2.$
证明：∵AC⊥BD 于点 O,
∴$AD^2 + BC^2 = (OA^2 + OD^2) + (OB^2 + OC^2) = (OA^2 + OB^2) + (OD^2 + OC^2) = AB^2 + CD^2. ($依据 1)
若对角线互相垂直的四边形内接于圆,它还有什么特殊性质呢,通过探究,我得出如下结论：对角线互相垂直的圆内接四边形,每组对边的平方和等于它的外接圆半径平方的 4 倍,证明过程如下 (不完整)：
如图 2,已知⊙O 的半径为 R,四边形 ABCD 内接于⊙O,且 AC⊥BD.
求证：$AB^2 + CD^2 = 4R^2.$
证明：过点 B 作直径 BE,分别连接 OA,OE,OD,OC,AE.
∵BE 是⊙O 的直径,∴∠EAB = 90°, (依据 2)
∴∠2 + ∠E = 90°.
∵AC⊥BD,
∴∠1 + ∠ACB = 90°.
学习任务：
(1) 小宇同学的论文中,“依据 1”和“依据 2”分别是：
依据 1：
勾股定理
；依据 2：
直径所对的圆周角是直角
.(2) 请完成图 2 的剩余证明过程.
∵∠ACB与∠AEB都对弧AB，∴∠ACB=∠AEB（同弧所对的圆周角相等）。∵∠1+∠ACB=90°，∠2+∠AEB=90°，∴∠1=∠2。∴弧AE=弧CD（等角对等弧），∴AE=CD（等弧对等弦）。∵BE是⊙O的直径，∴BE=2R。在Rt△EAB中，AB²+AE²=BE²=(2R)²=4R²。∵AE=CD，∴AB²+CD²=4R²。
(3) 如图 3,已知四边形 ABCD 内接于⊙O,E 为上一点,∠ACB + ∠E = 90°,若⊙O 的直径为 8,AB + CD = 10 (AB ＜ CD),请直接写出 AB 的长度.
5-√7
答案：
(1)依据1：勾股定理；依据2：直径所对的圆周角是直角。
(2)
∵∠ACB与∠AEB都对弧AB，
∴∠ACB=∠AEB（同弧所对的圆周角相等）。
∵∠1+∠ACB=90°，∠2+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2。
∴弧AE=弧CD（等角对等弧），
∴AE=CD（等弧对等弦）。
∵BE是⊙O的直径，
∴BE=2R。在Rt△EAB中，AB²+AE²=BE²=(2R)²=4R²。
∵AE=CD，
∴AB²+CD²=4R²。
(3)5-√7
(1)依据1：勾股定理；依据2：直径所对的圆周角是直角。
(2)
∵∠ACB与∠AEB都对弧AB，
∴∠ACB=∠AEB（同弧所对的圆周角相等）。
∵∠1+∠ACB=90°，∠2+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2。
∴弧AE=弧CD（等角对等弧），
∴AE=CD（等弧对等弦）。
∵BE是⊙O的直径，
∴BE=2R。在Rt△EAB中，AB²+AE²=BE²=(2R)²=4R²。
∵AE=CD，
∴AB²+CD²=4R²。
(3)5-√7
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