《2025年新课程问题解决导学方案七年级数学上册人教版》

你能比较两个数$2020 ^ { 2021 }和2021 ^ { 2020 }$的大小吗？
为了解决这个问题,先把问题一般化,即比较$n ^ { n + 1 }和( n + 1 ) ^ { n }$的大小($n \geq 1$,且$n$为整数)。然后从分析$n = 1$,$n = 2$,$n = 3$,…$$这些简单情形入手,从中发现规律,经过归纳,猜想出结论。
(1)通过计算,比较下列①②③④各组中两个数的大小。(在横线上填“$＞$”“$=$”或“$＜$”)
①$1 ^ { 2 }$______$2 ^ { 1 }$,②$2 ^ { 3 }$______$3 ^ { 2 }$,③$3 ^ { 4 }$______$4 ^ { 3 }$,④$4 ^ { 5 }$______$5 ^ { 4 }$,⑤$5 ^ { 6 } ＞ 6 ^ { 5 }$,⑥$6 ^ { 7 } ＞ 7 ^ { 6 }$,⑦$7 ^ { 8 } ＞ 8 ^ { 7 }……$
(2)从第(1)小题的结果经过归纳,可以猜想出$n ^ { n + 1 }和( n + 1 ) ^ { n }$的大小关系是什么？
(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论,可以得到$2020 ^ { 2021 }$______$2021 ^ { 2020 }$。(填“$＞$”“$=$”或“$＜$”)

答案：
(1)①＜ ②＜ ③＞ ④＞
(2)当n=1或n=2时,$n^{n+1}＜(n+1)^{n};$当n≥3且为整数时,$n^{n+1}＞(n+1)^{n}.$
(3)＞