《2025年名校课堂七年级数学上册华师大版》

【问题呈现】
期中复习时，小斌同学对教科书中关于有理数的定义“整数和分数统称为有理数”这句话有疑义，于是找王老师提出疑问“有限小数可以化为分数，但无限循环小数能化为分数吗？为什么它是属于有理数？”王老师以无限循环小数 $ 0.\dot{3} $ 为例，带着小斌同学做了以下的验证：
因为 $ 10×0.\dot{3}=3.\dot{3} $，
而 $ 3.\dot{3}=3+0.\dot{3} $，
所以 $ 3.\dot{3}-0.\dot{3}=3 $.
所以 $ 10×0.\dot{3}-0.\dot{3}=3 $，
即 $ 9×0.\dot{3}=3 $.
所以 $ 0.\dot{3}=\frac{1}{3} $.
通过王老师的解答，小斌同学发现循环节有 1 位的无限循环小数可以写成分数的形式，于是提出了新的疑问“循环节有 2 位、3 位……的无限循环小数是不是也可以写成分数的形式？”
【问题探究】
(1)请用无限循环小数 $ 0.\dot{3}\dot{5} $，帮助小斌同学初步验证循环节有 2 位的无限循环小数是否可以写成分数的形式；(写出解答过程)
【拓展迁移】
(2)通过对无限循环小数的化简，小斌同学进一步发现了另一类无限循环小数也可以化为分数，如 $ 0.\dot{1}2\dot{3},0.2\dot{1}\dot{3},0.12\dot{2}\dot{3},0.12\dot{1}\dot{3} $ 等. 请选择上述给出的无限循环小数中的一个，将其化为分数.

答案： 设$x = 0.\dot{3}\dot{5}$，则$100x = 35.\dot{3}\dot{5}$。$100x - x = 35.\dot{3}\dot{5} - 0.\dot{3}\dot{5}$$99x = 35$$x = \frac{35}{99}$结论：循环节有2位的无限循环小数$0.\dot{3}\dot{5}$可以写成分数$\frac{35}{99}$的形式。
@@选择$0.\dot{1}2\dot{3}$进行转化：设$x=0.\dot{1}2\dot{3}$，则$x=0.123123123\ldots$，两边同乘$1000$（循环节3位），得$1000x=123.123123123\ldots$，两式相减：$1000x - x=123.123\ldots - 0.123\ldots$，即$999x=123$，解得$x=\frac{123}{999}=\frac{41}{333}$。结论：$0.\dot{1}2\dot{3}=\frac{41}{333}$。