《2025年练习部分八年级数学上册沪教版54制》

5. 如图,已知：在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle B = 60^{\circ} $, $ AB = 2BC $. 求证： $ \angle C = 90^{\circ} $.

答案： 提示：取AB中点D，连接CD. 先证∠DCB=∠CDB=∠B=60°，再证△ACD是等腰三角形，从而∠ACD=∠A=30°. 所以∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°.

6. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ BE \perp AC $, $ CF \perp AB $,垂足分别为 $ E $、 $ F $, $ D $ 是边 $ BC $ 的中点,连接 $ DF $、 $ EF $、 $ DE $.

(1) 求证： $ DE = DF $;

(2) 当 $ \triangle DEF $ 是等边三角形时,求 $ \angle A $ 的度数.

答案： （1）提示：由BE⊥AC，CF⊥AB，D是边BC的中点，根据直角三角形的性质定理，推出DE=1/2BC=DF.
（2）∠A=60°. 提示：由△DEF是等边三角形，可知∠FDE=60°，即∠FDB+∠EDC=120°，利用直角三角形的性质定理，可推得∠DBF=∠DFB，∠DEC=∠DCE. 再由∠DBF+∠DFB+∠DEC+∠DCE=360°-120°=240°，得∠ABC+∠ACB=120°. 所以∠A=60°.