《2025年练习部分八年级数学上册沪教版54制》

4. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx+c = 0 $ 有两个实数根 $ x_{1} $、$ x_{2} $,且 $ |x_{1}-x_{2}| = 1 $,那么称该方程的两个根的距离为1.例如,一元二次方程 $ x^{2}-3x+2 = 0 $ 两个根是 $ x_{1} = 1 $,$ x_{2} = 2 $,则方程 $ x^{2}-3x+2 = 0 $ 的两个根的距离为1.
(1)方程 $ x^{2}+5x+6 = 0 $ 的两个根的距离为1吗？方程 $ x^{2}+5x - 6 = 0 $ 的两个根的距离为1吗？为什么？
(2)如果关于 $ x $ 的方程 $ (x - 3)(mx - n) = 0 $ 的两个根的距离为1,求代数式 $ \frac{m + n}{2n} $ 的值.

答案： （1）因为方程$x^{2}+5x+6=0$的根是$x_{1}=-2$，$x_{2}=-3$，此时$|x_{1}-x_{2}|=1$，所以该方程的两个根的距离为1；因为方程$x^{2}+5x-6=0$的根是$x_{1}=-6$，$x_{2}=1$，此时$|x_{1}-x_{2}|=7$，所以该方程的两个根的距离不为1.（2）因为方程$(x-3)(mx-n)=0$的根是$x_{1}=3$，$x_{2}=\dfrac{n}{m}$，又因为该方程的两个根的距离为1，所以$\dfrac{n}{m}=2$或$\dfrac{n}{m}=4$.当$\dfrac{n}{m}=2$时，$\dfrac{m+n}{2n}$的值是$\dfrac{3}{4}$；当$\dfrac{n}{m}=4$时，$\dfrac{m+n}{2n}$的值是$\dfrac{5}{8}$.