《2025年练习部分八年级数学上册沪教版54制》

3. 已知关于 $ x $ 的方程 $ mx^{2}-(2m - 1)x + m - 2 = 0(m ＞ 0) $。
(1) 求证：这个方程有两个不相等的实数根；
(2) 如果这个方程的两个实数根是 $ x_{1} $、$ x_{2} $,且 $ (x_{1}-3)(x_{2}-3)= 5 $,求 $ m $ 的值。

答案： （1）因为$m＞0$，可知该方程是关于$x$的一元二次方程，$\Delta=[-(2m-1)]^2-4\cdot m\cdot(m-2)=4m+1$. 因为$4m+1＞1$，所以$\Delta＞0$，因此这个方程有两个不相等的实数根.
（2）由$(x_1-3)(x_2-3)=5$，得$x_1x_2-3(x_1+x_2)+9=5$. 将$x_1+x_2=\frac{2m-1}{m}$，$x_1x_2=\frac{m-2}{m}$代入，得$\frac{m-2}{m}-3\cdot\frac{2m-1}{m}+9=5$，解得$m=1$，经检验，$m=1$是该方程的根. 所以，$m$的值为1.

4. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-(m + 5)x + 6m = 0 $ 的两个实数根的平方和为 $ 25 $,求 $ m $ 的值及此方程的两个根。

答案： 设此方程的两个根分别为$x_1$、$x_2$，不妨设$x_1\leqslant x_2$. 由韦达定理，得$x_1+x_2=m+5$，$x_1x_2=6m$.
所以$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(m+5)^2-12m$.
由题意，得$(m+5)^2-12m=25$，解得$m_1=2$，$m_2=0$.
将$m_1=2$代入原方程，得$x^2-7x+12=0$，解得$x_1=3$，$x_2=4$；
将$m_2=0$代入原方程，得$x^2-5x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=5$.