《2025年练习部分八年级数学上册沪教版54制》

1. 判断下列二次三项式是否能在实数范围内因式分解：
(1) $ x^{2}-2x + 3 $； (2) $ a^{2}+2a - 3 $；
(3) $ -x^{2}-x+\frac{1}{2} $； (4) $ \sqrt{2}x^{2}-4x + 2\sqrt{2} $.

答案： 1. 对于二次三项式$Ax^{2}+Bx + C(A\neq0)$，可通过判别式$\Delta=B^{2}-4AC$判断能否在实数范围内因式分解，当$\Delta\geq0$时，可以在实数范围内因式分解，当$\Delta\lt0$时，不能在实数范围内因式分解。
(1)对于$x^{2}-2x + 3$，其中$A = 1$，$B=-2$，$C = 3$。
计算$\Delta=(-2)^{2}-4×1×3$
$=4 - 12$
$=-8\lt0$。
所以$x^{2}-2x + 3$不能在实数范围内因式分解。
(2)对于$a^{2}+2a - 3$，其中$A = 1$，$B = 2$，$C=-3$。
计算$\Delta=2^{2}-4×1×(-3)$
$=4 + 12$
$=16\gt0$。
所以$a^{2}+2a - 3$能在实数范围内因式分解。
(3)对于$-x^{2}-x+\frac{1}{2}$，其中$A=-1$，$B=-1$，$C=\frac{1}{2}$。
计算$\Delta=(-1)^{2}-4×(-1)×\frac{1}{2}$
$=1 + 2$
$=3\gt0$。
所以$-x^{2}-x+\frac{1}{2}$能在实数范围内因式分解。
(4)对于$\sqrt{2}x^{2}-4x + 2\sqrt{2}$，其中$A=\sqrt{2}$，$B=-4$，$C = 2\sqrt{2}$。
计算$\Delta=(-4)^{2}-4×\sqrt{2}×2\sqrt{2}$
$=16-16$
$=0$。
所以$\sqrt{2}x^{2}-4x + 2\sqrt{2}$能在实数范围内因式分解。
综上，答案依次为：
(1)不能；
(2)能；
(3)能；
(4)能。

2. 在实数范围内因式分解：
(1) $ a^{2}+3a - 1 $； (2) $ 2x^{2}+4x+\frac{1}{2} $；
(3) $ \frac{1}{2}y^{2}+2y - 3 $； (4) $ -3x^{2}+3x + 2 $.

答案： （1）令$a^{2}+3a-1=0$，解得$a_{1}=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$，$a_{2}=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$.
所以$a^{2}+3a-1=\left(a+\frac{3-\sqrt{13}}{2}\right)\left(a+\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)$.
（2）$2x^{2}+4x+\frac{1}{2}=2\left(x^{2}+2x+\frac{1}{4}\right)$. 令$x^{2}+2x+\frac{1}{4}=0$，解得$x_{1}=\frac{-2+\sqrt{3}}{2}$，$x_{2}=\frac{-2-\sqrt{3}}{2}$. 所以$2x^{2}+4x+\frac{1}{2}=2\left(x+\frac{2-\sqrt{3}}{2}\right)\left(x+\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)$.
（3）$\frac{1}{2}y^{2}+2y-3=\frac{1}{2}\left(y^{2}+4y-6\right)$. 令$y^{2}+4y-6=0$，解得$y_{1}=-2+\sqrt{10}$，$y_{2}=-2-\sqrt{10}$. 所以$\frac{1}{2}y^{2}+2y-3=\frac{1}{2}(y+2-\sqrt{10})(y+2+\sqrt{10})$.
（4）$-3x^{2}+3x+2=-3\left(x^{2}-x-\frac{2}{3}\right)$. 令$x^{2}-x-\frac{2}{3}=0$，解得$x_{1}=\frac{3+\sqrt{33}}{6}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{33}}{6}$. 所以$-3x^{2}+3x+2=-3\left(x-\frac{3+\sqrt{33}}{6}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{33}}{6}\right)$.