《2025年练习部分八年级数学上册沪教版54制》

4. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-2x - 2n + 1 = 0 $ 的两个实数根之差是 $ 1 $,求此方程的两个根及 $ n $ 的值.

答案： 设此方程的两个根分别为$x_{1}$、$x_{2}$，不妨设$x_{1}\geq x_{2}$，则由题意，可得$x_{1}+x_{2}=2$，$x_{1}x_{2}=-2n+1$.由$\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=2,\\ x_{1}-x_{2}=1,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=\frac{3}{2},\\ x_{2}=\frac{1}{2}.\end{array}\right.$所以$-2n+1=\frac{3}{4}$，得$n=\frac{1}{8}$.

1. 设 $ \alpha $、$ \beta $ 是方程 $ \frac{1}{2}x^{2}-x - 2 = 0 $ 的两个实数根,利用韦达定理求下列各式的值：
(1) $ \alpha\beta + 2\alpha + 2\beta $；
(2) $ (2\alpha - 1)(2\beta - 1) $；
(3) $ \frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}} $；
(4) $ |\alpha - \beta| $。

答案： 由韦达定理，得$\alpha+\beta=-\frac{-1}{\frac{1}{2}}=2$，$\alpha\beta=\frac{-2}{\frac{1}{2}}=-4$.
（1）原式$=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)=0$.
（2）原式$=4\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+1=-19$.
（3）原式$=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha^2\beta^2}=\frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{\alpha^2\beta^2}=\frac{3}{4}$.
（4）因为$(|\alpha-\beta|)^2=\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=20$，所以$|\alpha-\beta|=2\sqrt{5}$.

2. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-(m - 1)x + m - 2 = 0 $ 的两个实数根 $ x_{1} $、$ x_{2} $ 的倒数之和为 $ 2 $,求 $ m $ 的值及此方程的两个根。

答案： 由$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$，得$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=2$. 又因为$x_1+x_2=m-1$，$x_1x_2=m-2$，所以$\frac{m-1}{m-2}=2$，解得$m=3$，经检验，$m=3$是该方程的根. 将$m=3$代入原方程，得$x^2-2x+1=0$，解得$x_1=x_2=1$.