《2025年同步练习上海科学技术出版社八年级数学上册沪科版》

19. 如图,点 $D$,$E分别在\triangle ABC$的边 $AB$,$AC$上,点 $F$在线段 $CD$上,且$\angle EFC+\angle BDC = 180^{\circ}$,$DE// BC$。
(1) 求证：$\angle DEF= \angle B$；
(2) 若 $DE平分\angle ADC$,$\angle BDC = 2\angle EFC$,求$\angle B$的度数。

答案：
(1) $\because \angle EFC+\angle DFE=180^{\circ }$,$\angle EFC+\angle BDC=180^{\circ }$,$\therefore \angle BDC=\angle DFE$. $\therefore AB// EF$. $\therefore \angle DEF=\angle ADE$. $\because DE// BC$,$\therefore \angle ADE=\angle B$. $\therefore \angle DEF=\angle B$
(2) $\because \angle BDC=2\angle EFC$,$\angle EFC+\angle BDC=180^{\circ }$,$\therefore 3\angle EFC=180^{\circ }$. $\therefore \angle EFC=60^{\circ }$,$\angle BDC=120^{\circ }$. $\therefore \angle ADC=60^{\circ }$. $\because DE$平分$\angle ADC$,$\therefore \angle ADE=30^{\circ }$. $\because DE// BC$,$\therefore \angle B=\angle ADE=30^{\circ }$

20. 如图,在$\triangle ABC$中,点 $D$,$E$,$F$分别在边 $AB$,$BC$,$AC$上,$\angle A= \angle BDE$,$\angle C+\angle CFD = 180^{\circ}$。
(1) 试判断 $BC$与 $DF$,$DE$与 $AC$的位置关系,并说明理由；
(2) 若 $DE\perp BF$,垂足为点 $G$,且$\angle FBC = 27^{\circ}$,求$\angle EDF$的度数。

答案：
(1) $BC// DF$,$DE//$ AC. 理由：$\because \angle C+\angle CFD=180^{\circ }$,$\therefore BC// DF$. $\because \angle A=\angle BDE$,$\therefore DE// AC$
(2) $\because DE\perp BF$,$\therefore \angle BGE=90^{\circ }$. $\because \angle FBC=27^{\circ }$,$\therefore \angle BEG=63^{\circ }$. $\because BC// DF$,$\therefore \angle EDF=\angle BEG=63^{\circ }$