《2025年初中必刷题七年级数学上册苏科版》

如图是一个长方形纸片ABCD,将纸片沿EF,EG折叠,点A的对应点为$A'$,点D的对应点为$D'$,且点$D'在线段A'E$上.若$∠AEF= 25^{\circ },则∠DEG$的大小为(C)
A.$90^{\circ }$
B.$80^{\circ }$
C.$65^{\circ }$
D.$45^{\circ }$

答案： C　[解析]由折叠知，∠AEF=∠A'EF，∠DEG=∠D'EG.因为∠AEF+∠A'EF+∠DEG+∠D'EG=180°，所以2∠AEF+2∠DEG=180°，所以∠AEF+∠DEG=90°，所以∠DEG=90°−∠AEF=90°−25°=65°.故选C.

如图,若$∠BOD=2∠AOB$,OC是$∠AOD$的平分线,则下列说法:①$∠BOC= \frac {1}{3}∠AOB$;②$∠DOC= 2∠BOC$;③$∠COB= \frac {1}{2}∠AOB$;④$∠COD= 3∠BOC$.其中正确的是(B)
A.①②
B.③④
C.②③
D.①④

答案： B　[解析]设∠AOB=α.因为∠BOD=2∠AOB，OC是∠AOD的平分线，所以∠BOD=2α，∠AOC=∠COD=$\frac{3}{2}$α，所以∠BOC=∠AOC−∠AOB=$\frac{1}{2}$α，所以∠COB=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠COD=3∠BOC.故③④正确，①②错误，故选B.

3[2024江苏苏州工业园区调研,较难]如图,点O为模拟钟面的圆心,M,O,N在一条直线上,指针OA,OB分别从OM,ON同时出发绕点O转动,OA,OB均顺时针转动,OA每秒转动$20^{\circ },$OB每秒转动$10^{\circ }$.设转动时间为t秒,在OB第一次回到初始位置之前,当$t= $6或30时,直线MN平分$∠AOB$.

答案： 6或30　[解析]在OA第一次转到ON处之前，∠AOM=20°t，∠AON=180°−20°t，∠BON=10°t.因为∠AON=∠BON，所以180−20t=10t，解得t=6.OA与OB第一次重合时，20t−10t=180，解得t=18，20t=360，则在OM处重合.在OB从OM处继续转动至第一次回到初始位置之前，OA在MN上方时，直线MN不可能平分∠AOB，所以OA在MN下方，此时，∠BON=180°−10°(t−18)，∠AON=20°(t−18)−180°.因为∠AON=∠BON，所以180−10(t−18)=20(t−18)−180，解得t=30.故当t=6或30时，直线MN平分∠AOB.故答案为6或30.

4[2025江苏宿迁期末,较难]如图,已知$∠AOB= $$102^{\circ },∠COD= 30^{\circ },∠COD在∠AOB$的内部绕点O任意旋转,若OE平分$∠BOC$,则$2∠AOE+$$∠BOD$的度数为____174°.

答案： 174°　[解析]因为OE平分∠BOC，所以∠BOE=∠COE.设∠DOE=x°.因为∠COD=30°，所以∠COE=30°−x°，所以∠BOD=30°−2x°，所以∠AOC=∠AOB−∠BOD−∠DOE−∠COE=42°+2x°，∠AOE=∠AOC+∠COE=72°+x°，所以2∠AOE+∠BOD=2×(72°+x°)+30°−2x°=174°，则2∠AOE+∠BOD的度数为174°.故答案为174°.

5[较难]已知$∠AOB= 60^{\circ }$,OC为从O点引出的任意一条射线,若OM平分$∠AOC$,ON平分$∠BOC$,则$∠MON$的度数是____.

答案：
30°或150°　[解析]因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠CON=∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOC.如图（1），∠MON=∠MOC−∠CON=$\frac{1}{2}$(∠AOC−∠BOC)=$\frac{1}{2}$×60°=30°；如图（2），∠MON=∠MOC+∠CON=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$(360°−∠AOB)=$\frac{1}{2}$×300°=150°；如图（3），∠MON=∠MOC+∠CON=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)=$\frac{1}{2}$×60°=30°.故答案为30°或150°.
　　 　　

(1)一个角的平分线是这个角的“定分线”(填“是”或“不是”);
(2)如图(2),若$∠MPN= 87^{\circ }$,射线PQ是$∠MPN$的“定分线”,请求出$∠MPQ$的度数;
∠MPQ的度数为43.5°或58°或29°.
(3)如图(3),若$∠MPN= 140^{\circ }$,射线PQ绕点P从PN位置开始,以每秒$15^{\circ }$的速度逆时针旋转,当PQ与PN成$105^{\circ }$时停止旋转,旋转的时间为t秒.同时射线PM绕点P以每秒$10^{\circ }$的速度顺时针旋转,并与PQ同时停止旋转.请直接写出射线PQ是$∠MPN$的“定分线”时t的值.
t的值为3.5或$\frac{28}{11}$或$\frac{56}{13}$.

答案： [解]
(1)因为一个角的平分线平分这个角，所以满足“定分线”的定义.故答案为是.
(2)当∠MPN=2∠MPQ，即PQ平分∠MPN时，∠MPQ=$\frac{1}{2}$∠MPN=43.5°.当∠MPQ=2∠QPN时，因为∠MPQ+∠QPN=∠MPN=87°，所以2∠QPN+∠QPN=87°，所以∠QPN=29°，所以∠MPQ=58°.当2∠MPQ=∠QPN时，因为∠MPQ+∠QPN=∠MPN=87°，所以∠MPQ+2∠MPQ=87°，所以∠MPQ=29°.
综上，∠MPQ的度数为43.5°或58°或29°.
(3)t的值为3.5或$\frac{28}{11}$或$\frac{56}{13}$.因为射线PQ以每秒15°的速度逆时针旋转，所以∠QPN=15°t.因为射线PM以每秒10°的速度顺时针旋转，所以∠MPN=140°−10°t，所以当射线PM，PQ重合时，有140°−10°t=15°t，解得t=5.6.
①当射线PQ在∠MPN的内部时，即0＜t＜5.6，因为∠QPN=15°t，所以∠MPQ=140°−10°t−15°t=140°−25°t.当∠MPQ=$\frac{1}{2}$∠MPN时，有140°−25°t=$\frac{1}{2}$(140°−10°t)，所以t=3.5；当∠MPQ=2∠QPN时，有140°−25°t=2×15°t，所以t=$\frac{28}{11}$.当2∠MPQ=∠QPN时，有2(140°−25°t)=15°t，所以t=$\frac{56}{13}$.
②当射线PQ在∠MPN的外部时，不符合“定分线”的定义.综上，t的值为3.5或$\frac{28}{11}$或$\frac{56}{13}$.
思路分析：由角平分线的定义推理得∠A₁OB₁=$\frac{1}{2}$α，∠A₂OB₂=$\frac{α}{2^{2}}$，∠A₃OB₃=$\frac{α}{2^{3}}$，据此规律可解答.
关键点拨：注意分射线PQ在∠MPN的内部和外部两种情况讨论.