《2025年初中必刷题七年级数学上册苏科版》

有理数$a$,$b$,$c$在数轴上对应的点的位置如图所示,那么化简$|c - a|-|b + c|+|a - b|$的结果是 (C)
A.$2b - 2a$
B.$2c - 2a$
C.$2b - 2a + 2c$
D.0

答案： C

有依次排列的三个整式$x$,$y$,$z$,用任意两个整式的和减去剩下的整式,产生一个新整式串：$x + y - z$,$x + z - y$,$y + z - x$,这称为第1次操作；将第1次操作得到的整式串按上述方式再操作一次,可以得到第2次操作后的整式串；…,以此类推,通过实际操作,下列结论：
①第3次操作后,得到的整式串为$3x + 3y - 5z$,$3x + 3z - 5y$,$3y + 3z - 5x$；
②第6次操作后,得到的整式串中,三个多项式的各项系数都是$-21$,$-21$,$43$；
③第2025次操作后,所有整式(包含前三个整式$x$,$y$,$z$)的和为$2026(x + y + z)$.
其中正确的个数为 (D)
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： D

3 [2025浙江诸暨期中,中]若关于$x$,$y的多项式(7mxy - 0.75y^{3})-2(2x^{2}y + 3xy)$化简后不含二次项,则$m$的值为$\frac{6}{7}$.

答案： $\frac{6}{7}$

4 [2025湖南衡阳期中,中]学习代数式求值时,遇到“代数式$ax - y + 6 + 3x - 5y - 1的值与x$的取值无关,求$a$的值”这样一类题,通常的解题方法如下：把$x$,$y$看作字母,$a$看作常数,合并同类项,因为代数式的值与$x$的取值无关,所以合并后的结果中含$x$项的系数为0,即原式$=(a + 3)x - 6y + 5$,所以$a + 3 = 0$,则$a = - 3$.
(1)若关于$x的多项式2mx - 3m + 2m^{2}-3x的值与x$的取值无关,求$m$的值；
(2)有7个如图(1)所示的小长方形,其长为$a$,宽为$b$,按照图(2)方式不重叠无缝隙地放在大长方形$ABCD$内,大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)中,设右上角的面积为$S_{1}$,左下角的面积为$S_{2}$,当$AB$的长变化时,$S_{1}-S_{2}$的值始终保持不变,求$a与b$的等量关系.

答案： [解]
(1)$2mx - 3m + 2m² - 3x = (2m - 3)x + 2m² - 3m$.因为其值与x的取值无关，所以$2m - 3 = 0$，解得$m = \frac{3}{2}$.
(2)设$AB = x$，由题图可知$S₁ - S₂ = (ax - 3ab) - (2bx - 4ab) = (a - 2b)x + ab$.因为当AB的长变化时，$S₁ - S₂$的值始终保持不变，所以$S₁ - S₂$的值与x的取值无关，所以$a - 2b = 0$，所以$a = 2b$.

(1)3与-1是关于2的平衡数,$7 - x$与$x - 5$是关于2的平衡数.(第2个空填一个含$x$的代数式)
(2)若$a = x^{2}-4x - 1$,$b = x^{2}-2(x^{2}-2x - 1)+1$,判断$a与b$是否为关于2的平衡数,并说明理由.
[解]a与b是关于2的平衡数.理由：因为$a = x² - 4x - 1$，$b = x² - 2(x² - 2x - 1) + 1$，所以$a + b = (x² - 4x - 1)+[x² - 2(x² - 2x - 1) + 1]=x² - 4x - 1 + x² - 2x² + 4x + 2 + 1 = 2$，所以a与b是关于2的平衡数.
(3)$c = kx + 1$,$d = x - 3$,且$c与d$是关于2的平衡数,若$x$为正整数,求非负整数$k$的值.
[解]因为$c = kx + 1$，$d = x - 3$，且c与d是关于2的平衡数，所以$c + d = kx + 1 + x - 3 = 2$，所以$(k + 1)x = 4$.因为x为正整数，所以当$x = 1$时，$k + 1 = 4$，得$k = 3$；当$x = 2$时，$k + 1 = 2$，得$k = 1$；当$x = 4$时，$k + 1 = 1$，得$k = 0$.综上，非负整数k的值为0或1或3.

答案： [解]
(1)因为$2 - 3 = -1$，所以3与−1是关于2的平衡数.因为$2 - (7 - x) = 2 - 7 + x = x - 5$，所以$7 - x$与$x - 5$是关于2的平衡数.故答案为−1，$x - 5$.
(2)a与b是关于2的平衡数.理由：因为$a = x² - 4x - 1$，$b = x² - 2(x² - 2x - 1) + 1$，所以$a + b = (x² - 4x - 1)+[x² - 2(x² - 2x - 1) + 1]=x² - 4x - 1 + x² - 2x² + 4x + 2 + 1 = 2$，所以a与b是关于2的平衡数.
(3)因为$c = kx + 1$，$d = x - 3$，且c与d是关于2的平衡数，所以$c + d = kx + 1 + x - 3 = 2$，所以$(k + 1)x = 4$.因为x为正整数，所以当$x = 1$时，$k + 1 = 4$，得$k = 3$；当$x = 2$时，$k + 1 = 2$，得$k = 1$；当$x = 4$时，$k + 1 = 1$，得$k = 0$.综上，非负整数k的值为0或1或3.