《2025年初中必刷题七年级数学上册苏科版》

1[2024北京西城区一模,中]已知$∠AOB = 60^{\circ}$,自$∠AOB$的顶点O引射线OC,若$∠AOC:∠AOB = 1:4$,那么$∠BOC$的度数是( )

A.$48^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$48^{\circ}或75^{\circ}$
D.$45^{\circ}或75^{\circ}$

答案：
1.D　[解析]如图
(1)，当OC在∠AOB内时，因为∠AOC:∠AOB = 1:4，∠AOB = 60°，所以∠AOC = 15°，所以∠BOC = 45°.如图
(2)，当OC在∠AOB外时，因为∠AOC:∠AOB = 1:4，∠AOB = 60°，所以∠AOC = 15°，所以∠BOC = 75°.综上，∠BOC = 45°或75°.故选D.

如图,将一副三角尺的两个锐角($60^{\circ}角和45^{\circ}$角)的顶点O叠放在一起,若$∠AOD与∠BOC的和为35^{\circ}$,则$∠AOC$的度数为(C)
A.$55^{\circ}$
B.$65^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$75^{\circ}$

答案： 2.C　[解析]由题意得∠AOB = 60°，∠COD = 45°，所以∠AOD = ∠AOB - ∠DOB = 60° - ∠DOB，∠BOC = ∠COD - ∠DOB = 45° - ∠DOB.因为∠AOD + ∠BOC = 35°，所以60° - ∠DOB + 45° - ∠DOB = 35°，所以∠DOB = 35°，所以∠BOC = 10°，所以∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 70°.故选C.

如图所示,钟表上显示的时间是10时10分,此时,时针和分针的夹角的度数是(C)
A.$100^{\circ}$
B.$105^{\circ}$
C.$115^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

答案： 3.C　[解析]因为时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，所以钟表上10时10分时，时针与刻度12的夹角为60° - 0.5°×10 = 55°，分针与刻度12的夹角为6°×10 = 60°，所以10时10分时分针与时针的夹角为55° + 60° = 115°.故选C.

4[2025福建泉州期末,较难]如图,将三个大小不同的正方形的一个顶点重合,则$∠α$,$∠β$,$∠γ$三个角之间的数量关系为( )


A.$∠α + ∠β + ∠γ = 90^{\circ}$
B.$∠α + ∠β - ∠γ = 90^{\circ}$
C.$∠α - ∠β + ∠γ = 90^{\circ}$
D.$∠α + 2∠β - ∠γ = 90^{\circ}$

答案：
4.C　[解析]如图，由题意得，∠α + ∠1 = ∠1 + ∠β + ∠2 = ∠2 + ∠γ = 90°，所以∠1 = 90° - ∠α，∠2 = 90° - ∠γ.因为∠1 + ∠β + ∠2 = 90°，所以90° - ∠α + ∠β + 90° - ∠γ = 90°，整理得∠α - ∠β + ∠γ = 90°.故选C.

5[2024四川成都期末,中]在同一平面内,$∠AOB = 80^{\circ}$,$∠AOC = 10^{\circ}$,$∠COD = 40^{\circ}$,$∠COD至少有一边在∠AOB$内部,则$∠BOD$的度数为.

答案：
5.30°或110°或50°　[解析]当OC，OD都在∠AOB的内部时，如图
(1)，∠BOD = ∠AOB - ∠AOC - ∠COD = 30°；当OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，如图
(2)，∠BOD = ∠AOB + ∠AOD = ∠AOB + ∠COD - ∠AOC = 110°；当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的内部时，如图
(3)，∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = ∠AOB - (∠COD - ∠AOC) = ∠AOB - ∠COD + ∠AOC = 80° - 40° + 10° = 50°.故答案为30°或110°或50°.

6[较难]如图,已知$∠A_1OA_{11}$是一个平角,且$∠A_3OA_2 - ∠A_2OA_1 = ∠A_4OA_3 - ∠A_3OA_2 = ∠A_5OA_4 - ∠A_4OA_3 =… = ∠A_{11}OA_{10} - ∠A_{10}OA_9 = 3^{\circ}$,则$∠A_{10}OA_{11}$的度数为31.5°.

答案： 6.31.5°　[解析]由题可得，平角∠A₁OA₁₁被分成10个小角，设∠A₂OA₁ = α，则∠A₃OA₂ = α + 3°，∠A₄OA₃ = α + 6°，…，∠A₁₀OA₁₁ = α + 9×3°.因为α + α + 3° + α + 6° + … + α + 9×3° = 180°，解得α = 4.5°，所以∠A₁₀OA₁₁ = 4.5° + 27° = 31.5°.故答案为31.5°.

7[较难](1)已知射线OA,从点O处再引两条射线OB,OC,使$∠AOB = 60^{\circ}$,$∠BOC = 20^{\circ}$.求$∠AOC$的度数.
(2)已知$∠AOB = 30^{\circ}$,$∠BOC = 24^{\circ}$,$∠AOD = 15^{\circ}$,求锐角$∠COD$的度数.

答案：
7.【解】
(1)①如图
(1)，射线OC在∠AOB的外部时，因为∠AOB = 60°，∠BOC = 20°，所以∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 60° + 20° = 80°.②如图
(2)，射线OC在∠AOB的内部时，因为∠AOB = 60°，∠BOC = 20°，所以∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 60° - 20° = 40°.综上，∠AOC的度数为80°或40°.
　　
(2)根据OC，OD位置的不同，有以下几种情况：①如图
(3)，∠COD = ∠AOB + ∠BOC + ∠AOD = 69°；②如图
(4)，∠COD = ∠AOB - ∠AOD + ∠BOC = 39°；③如图
(5)，∠COD = ∠AOB - ∠BOC + ∠AOD = 21°；④如图
(6)，∠COD = ∠AOD - (∠AOB - ∠BOC) = 9°.故锐角∠COD的度数为69°或39°或21°或9°.
　　
　　　 　　

8核心素养几何直观[难]如图,已知$∠AOB = 120^{\circ}$,$∠COD = 60^{\circ}$,OM在$∠AOC$内,ON在$∠BOD$内,$∠AOM = \frac{1}{3}∠AOC$,$∠BON = \frac{1}{3}∠BOD$.(本题中所有角均大于$0^{\circ}且小于等于180^{\circ}$)
(1)$∠COD$从图(1)中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时,如图(2),此时$∠MON = ^{\circ}$;
(2)$∠COD$从图(2)中的位置绕点O逆时针旋转$n^{\circ}(0 ＜ n ＜ 120且n \neq 60)$,求$∠MON$的度数;
(3)$∠COD$从图(2)中的位置绕点O顺时针旋转$n^{\circ}(0 ＜ n ＜ 120且n \neq 60)$,直接写出所有使$∠MON = 2∠BOC$的n值.

答案：
8.【解】
(1)因为∠AOM = $\frac{1}{3}$∠AOC，所以∠MOC = $\frac{2}{3}$∠AOC.当∠COD从题图
(1)中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，∠MON = ∠MOB + ∠BON = $\frac{2}{3}$∠AOC + $\frac{1}{3}$∠BOD = $\frac{2}{3}$×120° + $\frac{1}{3}$×60° = 80° + 20° = 100°.故答案为100.
(2)①当0 ＜ n ＜ 60时，如图
(1).因为∠BOC = n°，所以∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 120° - n°，∠BOD = ∠COD - ∠BOC = 60° - n°，所以∠MON = ∠MOC + ∠BOC + ∠BON = $\frac{2}{3}$(120° - n°) + n° + $\frac{1}{3}$(60° - n°) = 100°.

②当60 ＜ n ＜ 120时，如图
(2).因为∠BOC = n°，所以∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 120° - n°，∠BOD = ∠BOC - ∠DOC = n° - 60°，所以∠MON = ∠MOC + ∠DOC + ∠DON = $\frac{2}{3}$(120° - n°) + 60° + $\frac{2}{3}$(n° - 60°) = 100°.
综上所述，∠MON的度数为100°.
(3)n的值为50或70.①当0 ＜ n ＜ 60时，如图
(3).因为∠BOC = n°，所以∠MON = 2∠BOC = 2n°，∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 120° + n°，∠BOD = ∠BOC + ∠DOC = n° + 60°，所以∠MON = ∠MOC + ∠DOC - ∠DON = $\frac{2}{3}$(120° + n°) + 60° - $\frac{2}{3}$(n° + 60°) = 100°，所以2n° = 100°，所以n = 50.

②当60 ＜ n ＜ 120时，如图
(4).因为∠BOC = n°，所以∠MON = 2∠BOC = 2n°，∠AOC = 360° - (∠AOB + ∠BOC) = 360° - (120° + n°) = 240° - n°，∠BOD = ∠BOC + ∠DOC = n° + 60°，所以∠MON = 360° - ∠AOM - ∠AOB - ∠BON = 360° - $\frac{1}{3}$(240° - n°) - 120° - $\frac{1}{3}$(n° + 60°) = 140°，所以2n° = 140°，所以n = 70.
综上所述，n的值为50或70.