《2025年初中必刷题七年级数学上册苏科版》

1 [2025黑龙江哈尔滨期末,中]如图,线段AB的长为20 cm,O是线段AB的中点,P,Q是线段AB上的动点,点P沿A→B→A以4 cm/s的速度运动,点Q沿B→A以2 cm/s的速度运动.若P,Q两点同时出发,则当OP= OQ时,运动时间为 (C)
A.0 s、10 s或$\frac {5}{3}$s
B.0 s、5 s或$\frac {10}{3}$s
C.0 s、$\frac {10}{3}$s、$\frac {20}{3}$s或10 s
D.0 s、5 s、$\frac {5}{3}$s或$\frac {10}{3}$s

答案： 1. C 【解析】因为线段 AB 的长为 20 cm，O 是线段 AB 的中点，所以 $AO=\frac{1}{2}AB = 10$ cm。设运动时间为 t s，则 BQ = 2t cm，所以 AQ = AB - BQ = (20 - 2t)cm，所以 $OQ = |AQ - AO| = |20 - 2t - 10| = |10 - 2t|$ cm。因为点 P 沿 A→B→A 以 4 cm/s 的速度运动，所以分两种情况讨论：①当点 P 沿 A→B 运动时，点 P 到达点 B 需要的时间为 20÷4 = 5(s)，当 $0≤t≤5$ 时，AP = 4t cm，所以 $OP = |AO - AP| = |10 - 4t|$ cm。
思路分析：设运动时间为 t s，分情况讨论，分别表示出 OP 和 OQ 的长，再结合 OP = OQ 列出方程，求出 t 的值即可解答。
关键点拨：本题考查了线段的和差，线段三等分点以及倍数相关的计算。掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键。
因为 OP = OQ，所以 $|10 - 4t| = |10 - 2t|$，所以 10 - 4t = 10 - 2t 或 10 - 4t = 2t - 10，解得 t = 0 或 $t = \frac{10}{3}$。②当点 P 沿 B→A 运动时，此时 $5≤t≤10$，BP = (4t - 20)cm，所以 AP = AB - BP = 20 - (4t - 20) = (40 - 4t)cm，所以 $OP = |AP - AO| = |40 - 4t - 10| = |30 - 4t|$ cm。因为 OP = OQ，所以 $|30 - 4t| = |10 - 2t|$，所以 30 - 4t = 10 - 2t 或 30 - 4t = 2t - 10，解得 t = 10 或 $t = \frac{20}{3}$。综上所述，当 OP = OQ 时，运动时间为 0 s、$\frac{10}{3}$ s、$\frac{20}{3}$ s 或 10 s。故选 C。

2 [2025重庆沙坪坝区质检,中]如图,已知点C在线段AB上,且AC= 2BC,线段DE在线段AB上运动(点D,E不与点A,B重合,且点D在点E的左侧),AB= 15,DE= 6.
(1)当点E为BC的三等分点时,求线段AD的长;
(2)点F(不与点A,B,C重合)在线段AB上,且AF= 3AD,CF= 3,求线段AE的长.

答案：
2.【解】
(1)因为 AC = 2BC，AB = 15，所以 $AC = \frac{2}{3}×15 = 10$，$BC = \frac{1}{3}×15 = 5$。
当点 E 靠近点 C 时，如图
(1)所示，

因为点 E 为 BC 的三等分点，所以 $CE = \frac{1}{3}CB = \frac{5}{3}$，所以 $DC = DE - CE = 6 - \frac{5}{3} = \frac{13}{3}$，所以 $AD = AC - DC = 10 - \frac{13}{3} = \frac{17}{3}$。
当点 E 靠近点 B 时，如图
(2)所示。
因为点 E 为 BC 的三等分点，所以 $CE = \frac{2}{3}CB = \frac{10}{3}$，所以 $DC = DE - CE = 6 - \frac{10}{3} = \frac{8}{3}$，所以 $AD = AC - DC = 10 - \frac{8}{3} = \frac{22}{3}$。
综上，线段 AD 的长为 $\frac{17}{3}$ 或 $\frac{22}{3}$。
(2)依题意，分两种情况：①如图
(3)所示，当点 F 在点 C 右侧时，
因为 AC = 10，CF = 3，所以 AF = AC + CF = 10 + 3 = 13。因为 AF = 3AD，所以 $AD = \frac{1}{3}AF = \frac{13}{3}$。因为 DE = 6，所以 $AE = AD + DE = \frac{13}{3} + 6 = \frac{31}{3}$。
②如图
(4)所示，当点 F 在点 C 左侧时，

因为 AC = 10，CF = 3，所以 AF = AC - CF = 10 - 3 = 7。因为 AF = 3AD，所以 $AD = \frac{1}{3}AF = \frac{7}{3}$，所以 $AE = AD + DE = \frac{7}{3} + 6 = \frac{25}{3}$。
综上所述，AE 的长为 $\frac{31}{3}$ 或 $\frac{25}{3}$。

3 [2025福建福州期末,中]如图,线段AB的长为24,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动,M为AP的中点,设点P的运动时间为x秒.
(1)当x= 5时,求BM的长.
(2)当P在线段AB上运动时,2BM-PB是定值吗?如果是,请求出该定值,如果不是,请说明理由.
(3)当P在射线AB上运动时,N为BP的中点,求MN的长度.

答案：
3.【解】
(1)当 x = 5 时，AP = 2×5 = 10。因为 M 为 AP 的中点，所以 $AM = \frac{1}{2}AP = 5$，所以 BM = AB - AM = 19，所以 BM 的长为 19。
(2)当 P 在线段 AB 上运动时，2BM - PB 是定值。由题意知，$AM = \frac{1}{2}AP$，BM = AB - AM，所以 2BM - PB = 2(AB - AM) - (AB - AP) = 2AB - AP - AB + AP = AB = 24，所以 2BM - PB 是定值，定值为 24。
(3)当 P 在线段 AB 上运动时，如图
(1)。

由题意知，$PN = \frac{1}{2}BP$，$MP = \frac{1}{2}AP$，所以 $MN = MP + NP = \frac{1}{2}(AP + BP) = \frac{1}{2}AB = 12$。
当 P 在线段 AB 的延长线上运动时，如图
(2)。

由题意知，$PN = \frac{1}{2}BP$，$MP = \frac{1}{2}AP$，所以 $MN = MP - NP = \frac{1}{2}(AP - BP) = \frac{1}{2}AB = 12$。
综上所述，MN 的长度为 12。