《2026年王朝霞考点梳理时习卷九年级数学全一册人教版》

12.〔南京市〕若$m,n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2023x + 2024 = 0$的两个根,则代数式$(m^2 - 2022m + 2023)(n^2 - 2022n + 2023)$的值是2.

答案： 12.2 【解析】
∵m,n是关于x的一元二次方程$x^2 -$
2023x + 2024 = 0的两个根，
∴$m^2 - 2023m + 2024 = 0,n^2 - 2023n + 2024 =$
0,m + n = 2023,mn = 2024.
∴$m^2 - 2022m + 2023 = m - 1,n^2 - 2022n + 2023 =$
n - 1.
∴$(m^2 - 2022m + 2023)(n^2 - 2022n + 2023) =$
(m - 1)(n - 1) = mn - (m + n) + 1 = 2024 - 2023 +
1 = 2.

13. 设题新角度 开放性试题(6分)已知一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$.在下面的三组条件中选择其中一组$b,c$的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
①$b = 2,c = 1$;②$b = 5,c = 6$;③$b = 4,c = -2$.
(注:如果选择多组条件分别作答,按第一个解答计分.)

答案： 13.解:
∵这个方程有两个不相等的实数根，
∴$Δ = b^2 - 4c＞0,$即$b^2＞4c. (2$分)
②③符合题意. (4分)
选②，则这个方程为$x^2 + 5x + 6 = 0.$
∴方程有两个不相等的实数根$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4×6}}{2}$
$= \frac{-5 \pm 1}{2}.$
∴$x_1 = - 2,x_2 = - 3. (6$分)
[或选③，则这个方程为$x^2 + 4x - 2 = 0.$
移项，得$x^2 + 4x = 2.$
配方，得$x^2 + 4x + 4 = 6，$即$(x + 2)^2 = 6.$
由此可得，$x + 2 = \pm \sqrt{6}，$
$x_1 = - 2 + \sqrt{6},x_2 = - 2 - \sqrt{6}. (6$分)]

14.(8分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 4x - m^2 = 0$.
(1)求证:该方程有两个不相等的实数根;
(2)若该方程的两个实数根$x_1,x_2$满足$x_1x_2 + x_1 + x_2 = 3$,求$m$的值.

答案： 14.解:
(1)证明:根据题意，得$Δ = (-4)^2 - 4×(-m^2) =$
$16 + 4m^2.$
∵$m^2≥0，$
∴$16 + 4m^2＞0，$即Δ＞0.
∴该方程有两个不相等的实数根. (4分)
(2)
∵方程$x^2 - 4x - m^2 = 0$的两个实数根分别为
$x_1,x_2，$
∴$x_1 + x_2 = 4,x_1x_2 = - m^2. (6$分)
∵$x_1x_2 + x_1 + x_2 = 3，$
∴$ - m^2 + 4 = 3，$即$m^2 = 1.$
解得$m = \pm 1. (8$分)

15.(10分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (m + 5)x + 3m + 6 = 0$的两个根是一个矩形的两邻边的长.
(1)求证:不论实数$m$取何值,方程总有实数根;
(2)当矩形的对角线长为$5$时,求$m$的值;
(3)当$m$为何值时,矩形为正方形?

答案： 15.解:
(1)证明$:Δ = [-(m + 5)]^2 - 4×1×(3m +$
$6) = m^2 - 2m + 1 = (m - 1)^2. (1$分)
∵不论实数m取何值，$(m - 1)^2≥0，$
∴Δ≥0.
∴不论实数m取何值，该方程总有实数根．(3分)
(2)设矩形的两邻边长分别为a,b.
∵a,b是关于x的一元二次方程$x^2 - (m + 5)x +$
3m + 6 = 0的两个根．
∴a + b = m + 5,ab = 3m + 6.
∴$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (m + 5)^2 - 2(3m +$
$6) = m^2 + 4m + 13.$
∵矩形的对角线长为5，
∴$a^2 + b^2 = 5^2.$
∴$m^2 + 4m + 13 = 25.$
解得$m_1 = - 6,m_2 = 2.$
∵a + b = m + 5＞0，
∴m＞ - 5.
∴m的值为2. (7分)
(3)当该矩形为正方形时，方程有两个相等的实数根． (8分)
根据题意，得$Δ = (m - 1)^2 = 0.$
解得$m_1 = m_2 = 1.$
∴当m的值为1时，矩形为正方形． (10分)