《2026年王朝霞考点梳理时习卷九年级数学全一册人教版》

8.〔南昌市第二中学〕已知在同一平面直角坐标系中有二次函数$l_{1}:y = x^{2} + 1,l_{2}:y = x^{2} + 2,l_{3}:y = x^{2} + 3$.若直线$y = n$只与$l_{1},l_{2}$的图象同时有交点，则$n$的取值范围是2 ≤ n ＜ 3.

答案： 8.2 ≤ n ＜ 3

9. 如图，抛物线顶点$C$的坐标为$(2,8)$，抛物线交$x$轴于点$A(6,0)$，交$y$轴于点$B$，则$\bigtriangleup ABC$的面积为12.

答案： 9.12

10. 如图，抛物线$y = ax^{2} + bx + 4$经过点$A(-3,0)$，$B,C$，点$C$在$y$轴上，$CB // x$轴，且$AB$平分$\angle CAO$，则此抛物线的解析式是y = -$\frac{1}{6}$x² + $\frac{5}{6}$x + 4.

答案： 10.y = -$\frac{1}{6}$x² + $\frac{5}{6}$x + 4　[解析]在抛物线y = ax² + bx + 4中,令x = 0,则y = 4.
∴点C(0,4).
∴OC = 4.
∵点A(-3,0),
∴OA = 3.
∴AC = $\sqrt{OA^{2}+OC^{2}}$ = 5.
∵AB平分∠CAO,
∴∠BAC = ∠BAO.
∵CB//x轴,
∴∠CBA = ∠BAO.
∴∠BAC = ∠CBA.
∴CB = AC = 5.
∴点B(5,4).把点A(-3,0),B(5,4)分别代入y = ax² + bx + 4,
得$\begin{cases}9a - 3b + 4 = 0 \\25a + 5b + 4 = 4 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a = - \frac{1}{6} \\b = \frac{5}{6} \end{cases}$.
∴抛物线的解析式为y = -$\frac{1}{6}$x² + $\frac{5}{6}$x + 4.

11. 如图，抛物线$y = (x + 4)(x - 1)$与$x$轴交于$A,B$两点，$P$是以点$C(0,3)$为圆心，$1$为半径的圆上的动点，$Q$是线段$PA$的中点，连接$OQ$，则线段$OQ$的最小值是2.

答案： 11.2　[解析]令(x + 4)(x - 1) = 0,则x₁ = -4,x₂ = 1.
∴点A的坐标为(-4,0).作点A关于y轴的对称点D.连接PD.
∴点D(4,0),点O为AD的中点.
∵点Q为AP的中点,
∴OQ = $\frac{1}{2}$PD.当PD的值最小时,线段OQ有最小值.如图,连接CD.当点P在线段CD上时,PD取得最小值.
∵点C(0,3),
∴CD = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ = 5.
∴PD = CD - CP = 4.
∴OQ的最小值为2.

12.〔石家庄市〕如图1，抛物线$y = -x^{2} + bx + c$与$x$轴交于点$A(-1,0)$，$B(3,0)$，与$y$轴交于点$C$.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图2，当点$P$从点$B$匀速运动到点$O$时，过点$P$作$PF \perp AB$交抛物线于点$F$，交直线$BC$于点$E$，连接$BF,CF$.求$S_{\bigtriangleup CBF}$的最大值.
(3)若点$P$从点$B$匀速运动到点$A$时，点$Q$恰好从点$C$运动到点$O$，作点$Q$关于直线$BC$的对称点$Q^{\prime}$，当点$Q^{\prime}$落在$\bigtriangleup CEF$的一条边上时，请直接写出$CQ$的长度.

答案：
12.解:
(1)将点A(-1,0),B(3,0)代入y = -x² + bx + c,
得$\begin{cases}-1 - b + c = 0 \\-9 + 3b + c = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 2 \\c = 3 \end{cases}$.
∴抛物线的解析式为y = -x² + 2x + 3.
(2)把x = 0代入y = -x² + 2x + 3,得y = 3.
∴点C的坐标为(0,3).
设直线BC的解析式为y = kx + n.
把点B(3,0),C(0,3)代入,得$\begin{cases}3k + n = 0 \\n = 3 \end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = -1 \\n = 3 \end{cases}$.
∴直线BC的解析式为y = -x + 3.
设点P的坐标为(m,0).
∵PF⊥AB交抛物线于点F,交直线BC于点E,
∴点E(m,-m + 3),F(m,-m² + 2m + 3).
∵点P从点B匀速运动到点O,
∴点E和F均在第一象限.
∴EF = (-m² + 2m + 3) - (-m + 3) = -m² + 3m (0 ＜ m ＜ 3).
当m = -$\frac{3}{2×(-1)}$ = $\frac{3}{2}$时,
EF取得最大值,最大值为$\frac{9}{4}$.
∵S△CBF = S△CEF + S△BEF = $\frac{1}{2}$EF·OB = $\frac{3}{2}$EF.
∴S△CBF的最大值为$\frac{27}{8}$.
(3)CQ的长为$\frac{3}{4}$或$\frac{9}{7}$.
[解析]设CQ = a,BP = d.
∵当点P从点B匀速运动到点A时,点Q恰好从点C运动到点O,
∴$\frac{CQ}{OC}$ = $\frac{BP}{AB}$.
∴$\frac{a}{3}$ = $\frac{d}{4}$,即a = $\frac{3}{4}$d.
∵BP = d,
∴点P的坐标为(3 - d,0).
∵OB = OC,∠BOC = 90°,
∴△BOC是等腰直角三角形.
∵作点Q关于直线BC的对称点Q',
∴∠QCQ' = 90°.
分两种情况:
①当点Q'落在CF上时,CF⊥y轴,如图①.

∴点F的纵坐标为3.
把y = 3代入y = -x² + 2x + 3,
解得x₁ = 2,x₂ = 0(舍去).
∴点F的坐标为(2,3).
∴3 - d = 2.解得d = 1.
∴CQ = a = $\frac{3}{4}$d = $\frac{3}{4}$.
②当点Q'落在EF上时,CQ = CQ',如图②.

∴a = 3 - d,即$\frac{3}{4}$d = 3 - d.解得d = $\frac{12}{7}$.
∴CQ = a = $\frac{3}{4}$d = $\frac{9}{7}$.
综上所述，CQ的长为$\frac{3}{4}$或$\frac{9}{7}$.