《2026年王朝霞考点梳理时习卷九年级数学全一册人教版》

1.〔北京中考〕若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 4x + c = 0$有两个相等的实数根,则实数$c$的值为 (C)

A.$-16$
B.$-4$
C.$4$
D.$16$

答案： 1.C

2.〔南京市〕已知$\alpha,\beta$是关于$x$的一元二次方程$2x^2 - 2x - 1 = 0$的两个实数根,则$\alpha + \beta$的值为 (C)

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： 2.C

3.〔太原市〕课堂上,同学们围绕一元二次方程$2x^2 + \blacktriangle x - 5 = 0$的根的情况展开讨论,其中一次项系数被遮挡,下面四位同学的观点中正确的是 (B)

A.无论“$\blacktriangle$”为何值,该方程都有两个相等的实数根.
B.无论“$\blacktriangle$”为何值,该方程都有两个不相等的实数根
C.无论“$\blacktriangle$”为何值,该方程都只有一个实数根
D.因为“$\blacktriangle$”的值不确定,无法判定该方程有没有实数根

答案： 3.B

4.下列一元二次方程中,两个实数根之积为$2$的是 (C)

A.$x^2 + 2x + 1 = 0$
B.$x^2 + x - 2 = 0$
C.$x^2 - 3x + 2 = 0$
D.$x^2 - x - 2 = 0$

答案： 4.C

5.〔河南中考〕定义运算:$m☆n = mn^2 - mn - 1$,例如:$4☆2 = 4 × 2^2 - 4 × 2 - 1 = 7$.方程$1☆x = 0$的根的情况为 (A)

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根

答案： 5.A

6.〔郑州市〕对于实数$a,b$,定义运算“$★$”:
$a★b = \begin{cases} a^2 - b, & (a \leq b) \\ b^2 - a. & (a ＞ b) \end{cases}$
已知关于$x$的方程$x★(x - 2) = m$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围是 (B)

A.$m ＜ -\frac{9}{4}$
B.$m ＞ -\frac{9}{4}$
C.$m ＜ \frac{7}{4}$
D.$m ＞ \frac{7}{4}$

答案： 6.B 【解析】
∵x＞x - 2，
∴$x★(x - 2)=(x - 2)^2 - x = m.$
整理，得$x^2 - 5x + 4 - m = 0.$
∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴$Δ = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×(4 - m)＞0.$
解得$m＞ - \frac{9}{4}.$故选B.

7.已知实数$x_1,x_2$是关于$x$的方程$kx^2 + 2kx + 1 = 0(k \neq 0)$的两个根.若$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 2$,则$k$的值为 (A)

A.$-1$
B.$1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： 7.A 【解析】根据根与系数的关系，
得$x_1 + x_2 = - \frac{2k}{k} = - 2,x_1x_2 = \frac{1}{k}.$
∴$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{-2}{\frac{1}{k}} = 2，$
∴$\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = 2，$即$\frac{-2}{\frac{1}{k}} = 2.$
∴k = - 1.
∴原方程可化为$ - x^2 - 2x + 1 = 0.$
∵$Δ = (-2)^2 - 4×(-1)×1 = 8＞0，$
∴该方程有两个不相等的实数根．
∴k的值为 - 1.故选A.

8.〔长沙模拟〕在解一元二次方程$x^2 + px + q = 0$时,小红看错了常数项$q$,得到方程的两个根分别是$-4,2$;小明看错了一次项系数$p$,得到方程的两个根分别是$4,-3$,则原来的一元二次方程是 (B)

A.$x^2 + 2x - 8 = 0$
B.$x^2 + 2x - 12 = 0$
C.$x^2 - 2x - 12 = 0$
D.$x^2 - 2x - 8 = 0$

答案： 8.B 【解析】设此方程的两个根分别是α,β.
∵小红
看错了常数项q，得到方程的两个根分别是 - 4,2，
∴α + β = - p = - 2.
∴p = 2.
∵小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根分别是4, - 3，
∴αβ = q = - 12.
∴原来的一元二次方程是$x^2 + 2x - 12 = 0.$故选B.

9.一元二次方程$x^2 + 3x - 1 = 0$根的判别式的值为13.

答案： 9.13

10.一元二次方程$x^2 + 3x - 1 = 0$与$x^2 - 3x - 1 = 0$的所有实数根的和等于0.

答案： 10.0

11.关于$x$的一元二次方程$2x^2 + kx - 4 = 0$的一个根是$x_1 = -2$,则方程的另一个根$x_2 =$1,$k$的值为2.

答案： 11.1 2
≈ 一题多解
方法一:根据根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = - \frac{k}{2}，$
$x_1x_2 = - 2.$
∵$x_1 = - 2,$
∴$x_2 = 1.$
∴$ - \frac{k}{2} = - 1.$
∴k = 2.
方法二:将$x_1 = - 2$代入$2x^2 + kx - 4 = 0，$得2×
4 - 2k - 4 = 0.解得k = 2.
∴原方程为$2x^2 + 2x -$
4 = 0.解得$x_1 = - 2,x_2 = 1.$