《2026年王朝霞考点梳理时习卷九年级数学全一册人教版》

11. 如图,已知$⊙O$的直径$CD$为2,$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角度数为$80°$,$B$是$\overset{\frown}{AC}$的中点,点$P$在直径$CD$上移动,则$BP + AP$的最小值为$\sqrt{3}$.

答案：
11.$\sqrt{3}$　[解析]如图，作点B关于CD的对称点B'，连接AB'，连接AO并延长交⊙O于点E，连接B'E，B'P.
　　　　　　　　　　
　
∵点B与点B'关于CD对称,
　
∴BP = B'P,BC = B'C.
　
∵BP + AP = B'P + AP ≥ AB',
　
∴当点B',P,A在同一直线上时,BP + AP有最小值，最小值为AB'的长.
　
∵B是$\overset{\frown}{AC}$的中点，$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角度数为80°,
　
∴$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角度数为40°.
　
∴$\overset{\frown}{B'C}$所对的圆心角度数为40°,
　
∴$\overset{\frown}{AB'}$所对的圆心角度数为120°.
　
∴∠B'EA = 60°.
∵AE是⊙O的直径，
　
∴∠AB'E = 90°,AE = CD = 2.
∴∠B'AE = 30°.
　
∴B'E = $\frac{1}{2}$AE = 1.
∴AB' = $\sqrt{AE^{2}-B'E^{2}}$ = $\sqrt{3}$.
　
∴BP + AP的最小值为$\sqrt{3}$.

12.〔福州市〕(8分)如图,在$⊙O$中,弦$AB$,$CD$相交于点$E$,$AD = BC$.
(1)比较$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{CD}$的长度,并说明理由;
(2)求证:$AE = CE$.

答案： 12.解:
(1)AB与CD的长度相等.　　　　　　　(1分)
　　　　理由如下:
　
∵AD = BC,
∴$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BC}$.
　
∴$\overset{\frown}{AD} + \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{AC}$,即$\overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{AB}$.　　　　　(4分)
(2)证明:
∵∠A = ∠C,∠AED = ∠CEB,AD = BC,
　
∴△ADE ≌ △CBE.
　
∴AE = CE.　　　　　　　　　　　　　　　(8分)

13. (9分)如图,$AB$是$⊙O$的直径,$C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点,$CE⊥AB$于点$E$,$BD$交$CE$于点$F$.
(1)求证:$CF = BF$;
(2)若$CD = 2$,$AC = 4$,求$CE$的长.

答案： 13.解:
(1)证明:
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°.
∴∠BCE + ∠ACE = 90°.
∵CE⊥AB,
∴∠A + ∠ACE = 90°.
∴∠BCE = ∠A.　　　　　　　　　　　　　　(2分)
∵C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{BC}$.
∴∠DBC = ∠A.
∴∠BCE = ∠DBC,
∴CF = BF.　　　　　　　　　　　　　　　(4分)
(2)
∵$\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD}$,
∴BC = CD = 2.
∵∠ACB = 90°,AC = 4,
∴AB = $\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$.　　　　　　　(6分)
∵S△ABC = $\frac{1}{2}$AB·CE = $\frac{1}{2}$BC·AC,
∴CE = $\frac{BC·AC}{AB}$ = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$.　　　　　　　　　(9分)

14.〔沈阳模拟改编〕(10分)如图,四边形$ABCD$内接于$⊙O$,$D$是$\overset{\frown}{AC}$的中点,延长$BC$到点$E$,使$CE = AB$,连接$BD$,$ED$.
(1)求证:$BD = ED$;
(2)若$∠ABC = 60°$,$AD = 5$,求$⊙O$的直径.

答案：
14.解:
(1)证明:
∵D是AC的中点，
∴AD = CD.
∴$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{CD}$.
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠BAD + ∠BCD = 180°.　　　　　　　　　(2分)
∵∠ECD + ∠BCD = 180°,
∴∠BAD = ∠ECD.
∵AB = CE,
∴△ABD ≌ △CED.
∴BD = ED.(4分)
(2)如图，连接DO并延长交⊙O于点F，连接CF，则∠FCD = 90°.
　　　　　　
∵D是AC的中点,
∴AD = CD.
∴∠ABD = ∠CBD,AD = CD = 5.　　　　　　(7分)
∵∠ABC = 60°,
∴∠CBD = 30°.
∴∠F = ∠CBD = 30°.
∴DF = 2CD = 10.
∴⊙O的直径为10.　　　　　　　　　　　(10分)