《2025年暑假Happy假日七年级理综》

21. 已知$OA⊥OB,OC⊥OD$.
(1)如图1,若$∠BOC=50^{\circ}$,求$∠AOD$的度数;130°
(2)如图2,若$∠BOC=60^{\circ}$,求$∠AOD$的度数;120°
(3)根据(1)(2)的结果猜想,$∠AOD$与$∠BOC$有怎样的数量关系? 并根据图1说明理由;∠AOD+∠BOC=180°
(4)如图2,若$∠BOC:∠AOD=7:29$,求$∠BOC$和$∠AOD$的度数.∠BOC=35°，∠AOD=145°

答案： （1）
解：因为$OA\perp OB$，$OC\perp OD$，所以$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle COD = 90^{\circ}$。
已知$\angle BOC = 50^{\circ}$，根据周角$\angle AOB+\angle BOC+\angle COD+\angle AOD = 360^{\circ}$，则$\angle AOD=360^{\circ}-\angle AOB - \angle BOC-\angle COD$。
把$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle BOC = 50^{\circ}$，$\angle COD = 90^{\circ}$代入可得：$\angle AOD=360^{\circ}-90^{\circ}-50^{\circ}-90^{\circ}=130^{\circ}$。
（2）
解：因为$OA\perp OB$，$OC\perp OD$，所以$\angle AOB=\angle COD = 90^{\circ}$。
由$\angle AOD+\angle AOB+\angle BOC+\angle COD = 360^{\circ}$，可得$\angle AOD = 360^{\circ}-\angle AOB-\angle BOC - \angle COD$。
把$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle BOC = 60^{\circ}$，$\angle COD = 90^{\circ}$代入得：$\angle AOD=360^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=120^{\circ}$。
（3）
猜想：$\angle AOD+\angle BOC = 180^{\circ}$。
理由：因为$OA\perp OB$，$OC\perp OD$，所以$\angle AOB=\angle COD = 90^{\circ}$。
又因为$\angle AOB+\angle BOC+\angle COD+\angle AOD = 360^{\circ}$，即$90^{\circ}+\angle BOC + 90^{\circ}+\angle AOD = 360^{\circ}$。
化简可得：$\angle AOD+\angle BOC=360^{\circ}-(90^{\circ}+90^{\circ}) = 180^{\circ}$。
（4）
解：设$\angle BOC = 7x$，$\angle AOD = 29x$。
由（3）知$\angle AOD+\angle BOC = 180^{\circ}$，则$7x + 29x=180^{\circ}$。
合并同类项得$36x = 180^{\circ}$，解得$x = 5^{\circ}$。
所以$\angle BOC=7x = 35^{\circ}$，$\angle AOD=29x = 145^{\circ}$。
综上，（1）$\angle AOD = 130^{\circ}$；（2）$\angle AOD = 120^{\circ}$；（3）$\angle AOD+\angle BOC = 180^{\circ}$；（4）$\angle BOC = 35^{\circ}$，$\angle AOD = 145^{\circ}$。