《2025年暑假Happy假日七年级理综》

19. (1)比较大小:
$\sqrt{1}$＜$\sqrt{2}$;$\sqrt{2}$＜$\sqrt{3}$.
(2)由以上可知:
①$|1-\sqrt{2}|=$$\sqrt{2}-1$;
②$|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=$$\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
(3)计算:
$|1-\sqrt{2}|+|\sqrt{2}-\sqrt{3}|+|\sqrt{3}-\sqrt{4}|+\cdots+|\sqrt{2009}-\sqrt{2010}|$$\sqrt{2010}-1$(结果保留根号).

答案：
(1)$＜$；$＜$；
(2)①$\sqrt{2}-1$；②$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
(3)$\sqrt{2010}-1$

20. 王老师给同学们布置了这样一道习题:一个数的算术平方根为$2m - 6$,它的平方根为$\pm(m - 2)$,求这个数.小张的解法如下:
解:依题意,可知$2m - 6$是$m - 2,-(m - 2)$两数中的一个. ①
当$2m - 6 = m - 2$时,解得$m = 4$. ②
所以这个数为$2m - 6 = 2×4 - 6 = 2$. ③
当$2m - 6 = -(m - 2)$时,解得$m = \frac{8}{3}$. ④
所以这个数为$2m - 6 = 2×\frac{8}{3} - 6 = -\frac{2}{3}$. ⑤
综上所述,这个数为2或$-\frac{2}{3}$. ⑥
王老师看后说,小张的解法是错误的.你知道小张错在哪里吗? 为什么? 请改正.
小张错在③和⑤。
理由：一个数的算术平方根为$2m - 6$，那么这个数应该是$(2m - 6)^2$，而不是$2m - 6$；同时算术平方根一定是非负的，当$m = \frac{8}{3}$时，$2m - 6 = -\frac{2}{3}\lt0$，不符合算术平方根的定义，应舍去。
改正：当$m = 4$时，这个数的算术平方根为$2m - 6 = 2×4 - 6 = 2$，所以这个数为$2^2 = 4$。
综上所述，这个数为4。

答案： 小张错在③和⑤。
理由：一个数的算术平方根为$2m - 6$，那么这个数应该是$(2m - 6)^2$，而不是$2m - 6$；同时算术平方根一定是非负的，当$m = \frac{8}{3}$时，$2m - 6 = -\frac{2}{3}\lt0$，不符合算术平方根的定义，应舍去。
改正：当$m = 4$时，这个数的算术平方根为$2m - 6 = 2\times4 - 6 = 2$，所以这个数为$2^2 = 4$。
综上所述，这个数为$4$。