《2025年暑假Happy假日七年级理综》

19. 如图,已知$∠AOB$,用三角尺和量角器画图.
(1)画$∠AOB$的平分线OC,并在OC上任取一点P;用量角器测量$\angle AOB$的度数，设$\angle AOB = \alpha$，然后将量角器的中心与$O$点重合，$0^{\circ}$刻度线与$OA$（或$OB$）重合，在量角器上找到$\frac{\alpha}{2}$的刻度线，画出射线$OC$，则$OC$为$\angle AOB$的平分线，再在$OC$上任取一点$P$。
(2)过点P画一条平行于OB的直线;用三角尺的一个边与$OB$重合，然后用另一个三角尺靠紧第一个三角尺的另一边，推动第一个三角尺，使与$OB$重合的边经过点$P$，沿着这条边画直线$l$，则$l// OB$。
(3)过点P画$PD⊥OA,PE⊥OB$,垂足分别为D,E.用三角尺的一条直角边与$OA$重合，另一条直角边经过点$P$，沿着经过点$P$的直角边画线段$PD$，使$PD\perp OA$，垂足为$D$；同理，用三角尺的一条直角边与$OB$重合，另一条直角边经过点$P$，沿着经过点$P$的直角边画线段$PE$，使$PE\perp OB$，垂足为$E$。

答案： （1）
用量角器测量$\angle AOB$的度数，设$\angle AOB = \alpha$，然后将量角器的中心与$O$点重合，$0^{\circ}$刻度线与$OA$（或$OB$）重合，在量角器上找到$\frac{\alpha}{2}$的刻度线，画出射线$OC$，则$OC$为$\angle AOB$的平分线，再在$OC$上任取一点$P$。
（2）
用三角尺的一个边与$OB$重合，然后用另一个三角尺靠紧第一个三角尺的另一边，推动第一个三角尺，使与$OB$重合的边经过点$P$，沿着这条边画直线$l$，则$l// OB$。
（3）
用三角尺的一条直角边与$OA$重合，另一条直角边经过点$P$，沿着经过点$P$的直角边画线段$PD$，使$PD\perp OA$，垂足为$D$；同理，用三角尺的一条直角边与$OB$重合，另一条直角边经过点$P$，沿着经过点$P$的直角边画线段$PE$，使$PE\perp OB$，垂足为$E$。
综上，按照上述步骤完成（1）（2）（3）的画图。

20. 如图,直线AB,CD相交于点O,$∠BOC=75^{\circ}$,射线ON将$∠AOD$分成两个角,且$∠AON:∠NOD=2:3$.
(1)求$∠AON$的度数;30°
(2)若OM平分$∠BON$,则OB是$∠COM$的平分线吗? 判断并说明理由.是，理由如下：因为$\angle AON = 30^{\circ}$，$\angle AOB = 180^{\circ}$，所以$\angle BON=\angle AOB-\angle AON=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$。因为OM平分$\angle BON$，所以$\angle BOM=\frac{1}{2}\angle BON=\frac{1}{2}×150^{\circ}=75^{\circ}$。又因为$\angle BOC = 75^{\circ}$，所以$\angle BOC=\angle BOM$，根据角平分线定义，OB是$\angle COM$的平分线。

答案： （1）
因为直线$AB$，$CD$相交于点$O$，所以$\angle AOD=\angle BOC = 75^{\circ}$（对顶角相等）。
已知$\angle AON:\angle NOD = 2:3$，设$\angle AON = 2x$，$\angle NOD = 3x$。
根据$\angle AON+\angle NOD=\angle AOD$，可得$2x + 3x=75^{\circ}$，即$5x = 75^{\circ}$，解得$x = 15^{\circ}$。
所以$\angle AON=2x = 30^{\circ}$。
（2）
先求$\angle BON$的度数：
因为$\angle AON = 30^{\circ}$，$\angle AOB = 180^{\circ}$（平角定义），所以$\angle BON=\angle AOB-\angle AON=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$。
再求$\angle BOM$的度数：
因为$OM$平分$\angle BON$，所以$\angle BOM=\frac{1}{2}\angle BON$（角平分线定义），即$\angle BOM=\frac{1}{2}\times150^{\circ}=75^{\circ}$。
最后判断$OB$是否是$\angle COM$的平分线：
因为$\angle BOC = 75^{\circ}$，$\angle BOM = 75^{\circ}$，所以$\angle BOC=\angle BOM$。
根据角平分线定义，$OB$是$\angle COM$的平分线。
综上，（1）$\angle AON$的度数为$30^{\circ}$；（2）$OB$是$\angle COM$的平分线。